Question

已知函数f(x)＝x＾a－ax＋a－1,x＞0,其中a是常数

已知函数f(x)＝x＾a－ax＋a－1,x＞0,其中a是常数
1、当a＝3时，求f（x）的极值
2、若f（x）＜=0恒成立，求a的取值范围

Answer 1

1、当a＝3时，求f（x）=x³-3x+2,则f'(x)=3x²-3=0,
=>x1=-1（舍去）,x2=1
=>f（x）的极值为：f(1)=0

2、若f（x）≤0恒成立。f(x)=x^a-ax+a-1
f'(x)=ax^(a-1)-a 如果f(x)<=0恒成立，那么它必然是一个减函数，而且最大值是0，所以它的导数必然是负数，极值点=0
f'(x)=ax^(a-1)-a=a[x^(a-1)-1]
令f'(x)=0，则x^(a-1)-1=0，x^(a-1)=1，a=1 ，所以当a=1的时候取得极值，则
f(x)=x^a-ax+a-1=x-x+1-1=0
也就是说当a=1的时候，f(x)恒为0，所以a的取值范围是 a≤0

Answer 2

(1)
当a＝3时
f(x)=x^3-3x+2
f‘(x)=3x^2-3
又因为x>0
所以极值点是x=1
所以f(1)=1-3+2=0

(2)
f(x)=x^a-ax+a-1
f'(x)=ax^(a-1)-a 如果f(x)<=0恒成立，那么它必然是一个减函数，而且最大值是0，所以它的导数必然是负数，极值点=0
f'(x)=ax^(a-1)-a=a[x^(a-1)-1]
令f'(x)=0，则x^(a-1)-1=0，x^(a-1)=1，a=1 ，所以当a=1的时候取得极值，则
f(x)=x^a-ax+a-1=x-x+1-1=0
也就是说当a=1的时候，f(x)恒为0，所以a的取值范围是 a≤0