Question

一道高三数学函数题 设函数f(x)=x^2-(a-2)x-alna

若方程f(x)=c有两个不相等的实数根x1,x2，求证f`((x1+x1)/2)>0

再问下大神们这类题应该怎么做

Answer 1

(1）f(x)=x^2-(a-2)x-alnx，f'(x)=2x-(a-2)-a/x
函数及导函数定义域为x>0
令f'(x)=0，可得 2x-(a-2)-a/x=0
即 2x^2-(a-2)x-a=(2x-a)(x+1)=0
∵x+1>0，∴函数极值点为x=a/2

若a/2≤0，即a≤0，则f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数
若a/2≥0，即a≥0，则f(x)在(0,a/2]上为单调减函数，在[a/2,+∞)上为单调增函数

（2）此函数在(0,+∞)上只有一个极值点，故在(0,+∞)是最多有2个零点
因函数在[a/2,+∞)上为增函数，故x=a/2为极小值点
当刚好有一个零点时，极小值必为零点，则有
f(a/2)=(a/2)^2-(a-2)*(a/2)-aln(a/2)=0
=(a/2)*[-a/2+2-2ln(a/2)]=0
这个方程解出来约为a=2.74 （超越方程，数值解）
由极小值的表达式可知，随a增大，极小值减小
故当a≥2.74时，函数有两个零点
满足条件的最小正整数a=3

（3）方程f(x)=c的根即为直线y=c与f(x)曲线交点的横坐标
因f(x)定义域为x>0，∴两个根存在时（假设x1<x2），
必有x1>0, x2>0; x1<a/2<x2 => x1+x2>0, 2x2-a>0
f'(x1+x2)=[2(x1+x2)-a](x1+x2+1)/(x1+x2)
=[2x1+(2x2-a)](x1+x2+1)/(x1+x2)
上述式中的各因式均大于0，∴有 f'(x1+x2)>0

Answer 2

1求导讨论a
2数学归纳法，不建议
3分离变量，目测这个题分不了
4画图
我也高三党，倒数第三问这种题，能做则做，做不了也没啥，大家都不会