Question

初中数学二次函数复习题

初中数学二次函数复习题

Answer 1

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（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线 （a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3），
且抛物线 与y轴交于点B（0，2）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由；
（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标.

【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A(－2，3)，∴可设抛物线的解析式为 。
由题意得 ，解得 。
∴物线的解析式为 ，即 。
（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则
PA = ，PB= ，AB =
当PA=PB时， = ，解得 ；
当PA=PB时， =5，方程无实数解；
当PB=AB时， =5，解得 。
∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（ ，0）或（-1,0）或（1,0）。
（3）∵PA－PB≤AB，∴当A、B、P三点共线时，可得PA－PB的最大值，这个最大值等于AB，
此时点P是直线AB与x轴的交点。
设直线AB的解析式为 ，则
，解得 。∴直线AB的解析式为 ，
当 =0时，解得 。
∴当PA－PB最大时，点P的坐标是（4，0）
（2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；
（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。
由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴ ，即 ，解得OC=4。
∴点C的坐标为（4，0）。
（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为 ，
将A（0，2）代入，得 ，解得 。
∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为 ，即 。
∵ ，∴抛物线的对称轴为 。
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。
∵点P（m，n）在 上，
∴P 。
∴ ，
， 。
∴ 。
∵ ，∴当 时，S最大。
当 时， 。∴点P的坐标为（2，3）。
（4）存在。点M的坐标为（ ）或（ ）或（ ）或（ ）或（ ）。
（2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。
又∵OA=OB=4，
∴OC= OB= ×4=2，BC=OB•sin60°= 。
∴点B的坐标为（﹣2，﹣ ）。
（2）∵抛物线过原点O和点A．B，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣ ）代入，得
，解得 。
∴此抛物线的解析式为 。
（3）存在。
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。
①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=± ，
当y= 时，
在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD= ，
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。
∴y= 不符合题意，舍去。
∴点P的坐标为（2，﹣ ）。
②若OB=PB，则42+|y+ |2=42，解得y=﹣ 。
∴点P的坐标为（2，﹣ ）。
③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+ |2，解得y=﹣ 。
∴点P的坐标为（2，﹣ ）。
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣）。
（2012内蒙古包头12分）已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点，抛物线 经过点A , D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点。
（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；
（2）设点M 是直线AD 上一点，且 ，求点M 的坐标；
（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）在y = 2x + 4中，令y =0，得x=－2；令x=0，得y =4。
∴A（－2，0），D（0，4）。
将A（－2，0），D（0，4）代入，得
，解得。
∴这条抛物线的解析式为。
令，解得。∴B（4，0）。
（2）设M（m，2 m + 4），分两种情况：
①当M在线段AD上时，由得
，
解得，。∴M1（）。
②当M在线段DA延长线上时，
由得
，解得。∴M2（）。
综上所述，点M 的坐标为M1（），M2（）。
（3）存在。
∵点C（2，y）在上，
∴。∴C（2，4）。
设P，根据勾股定理，得
，
，。
分三种情况：
①若PB=BC，则，解得，。
∵点P在y 轴的正半轴上，∴P1（0，2）。
②若PB=PC，则，解得，。∴P2（0，）。
③若BC=PC，则，解得，。
∵点P在y 轴的正半轴上，∴不符合要求。
当时，B、C、P在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。
∴BC=PC时，在y 轴的正半轴上是不存在点P，使△BCP为等腰三角形。
综上所述，在y 轴的正半轴上是存在点P1（0，2），P2（0，
（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB
在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物
线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段
AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）
中的抛物线交于第一象限的点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求
点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。
∵A（—1，0）B（3，0）
∴可设过A、B、C三点的抛物线为 。
又∵C（0，）在抛物线上，∴，解得。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。
（2）①当△OCE∽△OBC时，则。
∵OC=， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴。∴x=2。
∴当x=2时，△OCE∽△OBC。
②存在点P。
由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。
∴∠AEC=∠A=60°。
又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。
∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。
∵C（0，），∴M（2，）。
过M作MN⊥x轴于点N（2，0），
∴MN=。 ∴ EN=1。
∴ 。
若△PEM为等腰三角形，则：
ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。
ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2) 。
ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1，)
∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）时，
△EPM为等腰三角形。），使△BCP为等腰三角形。
（2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线 ，
∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。
（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。
②存在实数k，使△ABP为等边三角形．
∵ ，∴顶点P（2，－k）．
∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2
要使△ABP为等边三角形，必满足|－k|= ，
∴k=± 。
③线段EF的长度不会发生变化。
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，
∴kx2﹣4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8。解得：x1=﹣1，x2=5。
∴EF=x2﹣x1=6。∴线段EF的长度不会发生变化。
（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交 于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线 、 ．
(1)求抛物线对应二次函数的解析式；
(2)求证以ON为直径的圆与直线 相切；
(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线 的距离之和等于线段MN的长．

【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，
则 解得 。
∴抛物线对应二次函数的解析式 所以 。
（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上，
∴ ，∴x22=4(y2+1)。
又∵ ，∴ 。
又∵y2≥－l，∴ON=2＋y2。
设ON的中点E，分别过点N、E向直线 作垂线，垂足为P、F， 则 ，
∴ON=2EF，
即ON的中点到直线 的距离等于ON长度的一半，
∴以ON为直径的圆与 相切。
（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则 ，
又∵y1=kx1，y2=kx2，∴（y2－y1)2=k2(x2－x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。
又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，
∴ ，即x2－4kx－4=0，∴x2＋x1=4k，x2·x1=－4。
∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2＋xl)2－4x2·xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。
延长NP交 于点Q，过点M作MS⊥ 交 于点S，
则MS＋NQ=y1＋2＋y2＋2=

∴MS+NQ=MN，即M、N两点到 距离之和等于线段MN的长。
（2011四川眉山11分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的抛物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1＋1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．
（2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线 交于点A（3，6）．
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

【答案】解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。
∴y=2x。
∴ 。
（2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：
如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．
①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时 。
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴∠MQH=∠GQN。
又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN。
∴ 。
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 。
∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。
（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。
∴OC=AC= 。
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC。∴ 。
∴OF= 。
∴点F（ ，0）。
设点B（x， ），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF。
∴ ，即 。
解得x1=6，x2=3（舍去）。∴点B（6，2）。
∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。
在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。
∴∠ABE=∠DEO。
∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED。
设OE=x，则AE= ﹣x （ ），
由△ABE∽△OED得 ，即 。
∴ 。
∴顶点为 。
如图3，当 时，OE=x= ，此时E点有1个；
当 时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．
∴当 时，E点只有1个，当 时，E点有2个。
（2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+ x +c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。
（1）求二次函数的解析式；【版权归锦元数学工作室，不得转载】
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。
①若直线l⊥BD，如图1所示，试求 的值；
②若l为满足条件的任意直线。如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。

【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+x +c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），
∴ ，解得。
∴二次函数的解析式为：。
（2）证明：在中，令y=0，得，解得x1=－3，x2=2。
∴C（2，0），∴BC=5。
令x=0，得y=-1，∴M（0，－1），OM=1。
又AM=BC，∴OA=AM－OM=4。∴A（0，4）。
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则，解得x1=5，x2=－6（位于第二象限，舍去）。
∴D点坐标为（5，4）。∴AD=BC=5。
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。【版权归锦元数学工作室，不得转载】
设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（－3，0），D（5，4），
∴ ，解得：。
∴直线BD解析式为：。
（3）在Rt△AOB中，，
又AD=BC=5，∴▱ABCD是菱形。
①若直线l⊥BD，如图1所示，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD。∴AC∥直线l。∴。
∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10。
∴。
②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，∴△PAD∽△DCQ。∴。
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。
∴
。
（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)求△ABD的面积；
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
，解得。
∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3。
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。
∴AB＝3－(－1)＝4。
∴△ABD的面积＝×4×4＝8。
(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，
∵点A对应点G的坐标为(3，2)。
∵当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，
∴点G不在该抛物线上。
（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为，求点M的坐标．

【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。
（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x=，即OP=。
（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。
（i）如图1，当H在点C下方时，
∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。
∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。
∴M（1，﹣2）。
（ii）如图2，当H在点C上方时，
∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。
由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，
把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。
∴y=x﹣2。
由x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。
此时y=。
∴M′（）。
②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，
在Rt△AOC中，AC=。
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC，
∴，即，解得AD=2。
∴D（1，0）或D（﹣3，0）。
过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图
则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。
当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，
当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得。

∴点M的坐标为（）或（）。

Answer 2

兄弟，都是初三党 ，人生自古谁无死