Question

初中二次函数题

已知抛物线:y=x²-2x+m-1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点,如图，设它的顶点为B

(1)求m的值；

(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是△ABC是等腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x^2-2x+m-1与x轴只有一个交点，
∴△=（-2）^2-4×1×（m-1）=0，
解得，m=2.
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x^2-2x+1，易得顶点B（1，0），
当x=0时，y=1，得A（0，1）．
由1=x^2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1
∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC= √2．
同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB= √2．
∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，
因此△ABC是等腰直角三角形。
（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x^2-2x-3，
当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=-1或x=3，
∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．
第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．
∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，
∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，
则 P1M/EM=OE/OF=1/3，即EM=3P1M．
∵EM=x1+1，P1M=y1，
∴x1+1=3y1①
由于P1（x1，y1）在抛物线C′上，
则有3（x1^2-2x1-3）=x1+1，
整理得，3x1^2-7x1-10=0，解得，
x1=-1（舍）或 x1=10/3．
把 x1=10/3代入①中可解得，
y1= 13/9．
∴P1（ 10/3， 13/9）．
第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N．
同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，
得 FN/P2N=OE/OF=1/3，即P2N=3FN．
∵P2N=x2，FN=3+y2，
∴x2=3（3+y2）②
由于P2（x2，y2）在抛物线C′上，
则有x2=3（3+x2^2-2x2-3），
整理得3x2^2-7x2=0，解得x2=0（舍）或 x2=7/3．
把 x2=7/3代入②中可解得，
y2=-20/9．
∴P2（ 7/3， -20/9）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为：（ 10/3， 13/9）或（ 7/3， -20/9）
这道题目是二次函数的综合运用题目，涉及知识点有求抛物线解析式、抛物线的顶点、三角形相似、抛物线的平移及直角三角形的性质，设计函数、分类讨论等中学重要的数学思想，希望能好好研究，弄懂弄通，对你解综合性大题目很有帮助！

第三步骤比较复杂，不好书写，希望你能看明白，不明白的可以追问或私聊我，我发word版的给你！

Answer 2

(1)解:依题意:该函数与X轴交于一点 所以:b^2-4ac=(-2)^2-4(m-1)=0 4-4m+4=0 m=2
(2)解依题意:y=x^2-2x+1 ,x=0,y=1.当 y=1时:x^2-2x+1=1所以x=0或2 x=1时y有最小值0
AO=OB=1 角ABC为90度 角BAC为45度 AB=BC 所以此三角形为等腰直角三角形
(3)有些麻烦,不好意思,不好打出来,思路是:求出EF两点坐标以E或F为顶点作一次函数垂直于EF,分别求出解析式即可

Answer 3

∵与X轴有一个交点，
∴Δ=0，即b²-4ac=0，
∴M=2，
∴y=x²－2x＋1
∴A﹙0,1﹚B﹙1,0﹚
∴∠OAB=∠OBA
又∵∠AOB=90°
∴∠OAB=∠OBA=45°
∵AC∥L
∴∠OAC=90°
∴∠BAC=45°
同理∠ACB=45°
AB=BC
∴等腰直角三角形ABC
由题意知y=﹙x-1﹚²-4
∴E﹙﹣1.0﹚F﹙0,﹣3﹚
∴OE=1,OF=3
∴EF=根号10
易证⊿EOF≌⊿EFP
∴EO/EF=EF/EP
∴1/根号10=根号10/EP
∴EP=10
∴OP=9
∴P(9,60) 赞同
(1)解:依题意:该函数与X轴交于一点 所以:b^2-4ac=(-2)^2-4(m-1)=0 4-4m+4=0 m=2
(2)解依题意:y=x^2-2x+1 ,x=0,y=1.当 y=1时:x^2-2x+1=1所以x=0或2 x=1时y有最小值0
AO=OB=1 角ABC为90度 角BAC为45度 AB=BC 所以此三角形为等腰直角三角形
(3)有些麻烦,不好意思,不好打出来,思路是:求出EF两点坐标以E或F为顶点作一次函数垂直于EF,分别求出解析式即可

Answer 4

∧=b^2-4ac=(-2)^2-4(m-1)=0
m=2

Answer 5

1,∵函数与X轴只有一个交点，∴b^2-4ac＝0，即2-4（m-1）＝0，∴M＝3/2

Answer 6

∵与X轴有一个交点，
∴Δ=0，即b²-4ac=0，
∴M=2，
∴y=x²－2x＋1
∴A﹙0,1﹚B﹙1,0﹚
∴∠OAB=∠OBA
又∵∠AOB=90°
∴∠OAB=∠OBA=45°
∵AC∥L
∴∠OAC=90°
∴∠BAC=45°
同理∠ACB=45°
AB=BC
∴等腰直角三角形ABC
由题意知y=﹙x-1﹚²-4
∴E﹙﹣1.0﹚F﹙0,﹣3﹚
∴OE=1,OF=3
∴EF=根号10
易证⊿EOF≌⊿EFP
∴EO/EF=EF/EP
∴1/根号10=根号10/EP
∴EP=10
∴OP=9
∴P(9,60)