Question

已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且对任意x＞0都有f（x）＜0，f（3）=-3

（1）试证明：函数y=f（x）在R上是单调函数
（2）判断y=f（x）的奇偶性，并证明
（3）解不等式f（x+3）+f（4x）≤2
（4）试求函数y+f（x）在[m，n]（mn＜0且m，n∈Z）上的值域。

Answer 1

(1)
对任意的，x1<x2
f(x+y)=f(x)+f[(x+y)-x]
令{x+y=x2
{x=x1
f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
因为x2-x1>0
所以f(x2-x1)<0
即 f(x2)<f(x1)
换过来就是：
f(x1)>f(x2) , 所以f(x))是R上的减函数；
（2）
令x=y=0得：
f(0)=f(0)+f(0)==>f(0)=0
令x= - y 得：
f(0)=f(x)+f(-x)=0;
所以f(x)是奇函数；
（3）
f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)
f(2)=f(-1+3)=f(-1)-3=-f(1)-3
2f(1)= - f(1)-3==>f(1)= - 1
f(2)= - 2
f(x+3)+f(4x)≤2可化为：
f(x+3+4x)≤f(-2),因为函数f(x)是减函数，所以
5x+3≥-2==>x≥ - 1
(4)
值域为：【-n,-m】

Answer 2

Answer 3

先证明f(1)=-1
再证明f(1/m)=-1/m
再证明对任意无理数可以由有理数序列逼近，从而知道f(x)=-x
一切都解决了。