Question

已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x,y属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x大于0

对任意x,y属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x大于0，都有f(x）小于0，f（3）=-3.
讨论函数f(x)的单调性
急呐
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Answer 1

单调递减

首先证明f(x)是奇函数。

因为f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),可知f(0)=0.

那么f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x),

这就证明了f(x)是奇函数。

下面证它是减函数：

设x2>x1, 那么x2-x1>0,

则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)

根据条件“对任意x大于0，都有f(x）小于0”可知

f(x2-x1)<0, 从而f(x2)<f(x1)

证毕。

Answer 2

解：
令x=y=0，则有：f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0；
令x=-y，则有f（0）=f（x）+f（-x）即f（-x）=-f（x）；
又定义域为R，故f（x）为奇函数！
∴只需要讨论x＞0的情况！

令y=△x＞0，则有f（x+△x）-f（x）=f（△x）＜0对x+△x＞x成立，
故函数为减函数！

Answer 3

令任意的x1>x2,那么f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),又x1-x2>0
所以f(x1-x2)<0
所以f（x)在R上为减函数