Question

求证关于数列极限性质保号性证明的一些思考

我想问，如果取 ε=2a 呢，不就是X_n＞-a，就并不能证明X_n＞0了啊，问题可能比较白痴，因为基础不太好，所以请讲的细致一些，谢谢了！

Answer 1

我觉得你对保号的理解是有些问题。

保号的意思是，例如当n趋近∞的时候，xn的极限是正数，那么必然会有一个正整数N，使得项数大于这个正整数的每项都大于0。也就是说我们一定能找到一个正整数N，使得xn这个数列的第N项以后都是正数。
意思是我们只要能找到这样一个正整数就说明定理正确了。至于我们找到的这个正整数是不是符合要求的最小正整数。无所谓。我们没要求最小。我们找到了一个或几个正整数不符合要求，也无所谓。只要1、2、3…………直到∞这样无数这个正整数中，能找到1个就行了。

所以你说取ε=2a，无法保证xn大于0，这是的。但是我们需要证明的是，总能找到1个正数，使得xn-a的绝对值小于这个正数时，就能得到xn-a是正数。所以ε=2a不行的话，我们就取比ε为比2a更小的，如果ε=a/2还不行，我们还能取比a/2还要小的。因为ε是任意取的正数。所以从理论上说，这个不行，就取更小的。除非证明任何正数都不行，才无法取。

就好比定理中是说总是存在这样的正整数N，那么你就不能以某个数列N=100时，有x102是负数，为由，说这个定理不正确。因为100不行，就1000，1000不行，还可以1万一样。