Question

已知函数f(x)=k4^x-k2^x-4(k+5)在区间【0，2】上存在零点。求k的取值范围。是f(0)f(2)<0还是f(0)f(2)<=0?

Answer 1

答：
是f(0)*f(2)<=0，因此有可能零点刚好在区间端点处，比如f(0)=0或者f(2)=0

解法一：
f(x)在区间[0,2]上存在零点，f(x)在区间上连续，说明区间端点处的点分别在x轴的两侧，所以：
f(0)*f(2)<=0
即：[k-k-4(k+5)]*[16k-4k-4(k+5)]<=0
所以：-16(k+5)*(2k-5)<=0
所以：(k+5)*(2k-5)>=0
所以：k<=-5或者k>=5/2

解法二：
f(x)=k*4^x-k*2^x-4(k+5)
=k*(2^x)²-k*(2^x)-4(k+5)
0<=x<=2
1<=2^x<=4
令t=2^x，1<=t<=4
转化为：f(t)=kt²-kt-4(k+5)=k(t-1/2)²-k²/4-4(k+5)
在1<=t<=4上存在零点。
f(t)的对称轴t=1/2在区间[1,4]的左侧，所以f(t)在区间上单调
当k<0时，f(t)在[1,4]上单调减，存在零点的话，f(1)>=0并且f(4)<=0，即f(1)=k-k-4(k+5)>=0，k<=-5；f(4)=16k-4k-4k-20=8k-20<=0，k<=5/2；所以：k<=-5
当k=0时，f(t)=-20，不满足；
当k>0时，f(t)在[1,4]上单调增，存在零点的话，f(1)<=0并且f(4)>=0，即f(1)=k-k-4(k+5)<=0，k>=-5；f(4)=8k-20>=0，k>=5/2；所以：k>=5/2
综上所述，k<=-5或者k>=5/2时，f(x)在[0,2]上存在零点。

Answer 2

在区间[0,2]上存在零点, f(0)f(2)<=0.