Question

已知数列{an}满足a1=3,an+a(n-1)=4n

1、求证数列{an}的奇数项，偶数项均构成等差数列
2、求{an}的通项公式

Answer 1

a(n)＋a(n－1)=4n
则：
a(n＋1)＋a(n)=4(n＋1)
两式相减，得;
a(n＋1)－a(n－1)=4
(1)若n是偶数，则：a(n＋1)、a(n－1)都是偶数项，且：
所有的偶数项成以a2=5为首项、以d1=4为公差的等差数列；
(2)同理，若n是奇数，则所有的奇数项构成以a1=3为首项、以d2=4为公差的等差数列

则：
. { 2n＋1 (n是奇数)
a(n)=
. { 2n＋1 (n是偶数)

则：a(n)=2n＋1

Answer 2

an+a(n-1)=4n
凑项得
(an-2n+1)=-[a(n-1)-2(n-1)+1]
(an-2n+1)/[a(n-1)-2(n-1)+1]=1
{(an-2n+1)}为等比数列，公比为-1，首项为3-2+1=2
故(an-2n+1)=2*（-1）^(n-1)
an=2*（-1）^(n-1)+2n-1
明显n为奇数或偶数an皆为等差数列
祝你学习进步
ok

Answer 3