Question

什么情况下矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵，能证明下吗

Answer 1

正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵( Q^T=Q^-1 )。
证明：
首先回顾一下正交矩阵的定义：一种简单定义是“由单位正交向量构成的矩阵”。（全面一些的定义是：由行之间两两正交、列之间两两正交的单位向量组成的方阵。最简单的例子如单位阵。）
由于正交矩敏蠢阵的各列为正交单位向量，所以Q*Q^T时，得到的新矩阵第一行第一列元素x_11即为Q第一个列向量与Q第一个列向量的转置的乘积，相当于求单位向量与自身的内积，也即模的平方，故为1。而x_21元素为Q第一个列向量与Q^T第二个行向量（也即Q第二个列向量）的内积，由Q各列向量之间相互正交的定义可知其内积为0。以此团姿类推，只有对角线元素对应着各正交单位向量与自身的内积，结果为1，而其它非对角线元素皆为0. 所以Q*QT=单位阵，所以QT=Q-1 ）塌拿绝