Question

高等数学中函数的极限的运算，一条简单题目

题目是第一张图片，第二张图片中我的运算是哪里有问题了？请老师指点

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Answer 1

极限的和差运算法则是这样的：如果lim f(x)存在，lim g(x)存在，则lim [f(x)±g(x)]也存在，且lim [f(x)±g(x)] ＝ lim f(x) ± lim g(x)。

根据这个法则，我们进一步可以得到：
如果lim f(x)与lim g(x)一个存在一个不存在，则lim [f(x)±g(x)]一定不存在。

再考虑如果lim f(x)与lim g(x)都不存在时，lim [f(x)±g(x)]是存在还是不存在。此时这两种情形都存在，例子很容易找出来，本题就是一例。这时候极限运算法则不能直接用了，把式子转化后再考虑能不能使用极限的运算法则。

Answer 2

你相当于把分子上的x-ln(1+x)等价无穷小了吧。但加减运算不能对部分使用等价无穷小吧。

Answer 3

同学你好。你的推导中，减去的那个有错。 事实上
ln（1+x）=x-1/2*x^2+O(x^2)， 而不是简单的x，你再带入就行了。

追问

你好，运算法则不是lim(A-B)=lim A - lim B 吗？而为什么不能对ln（1+x）用x等价无穷小替换呢，其他的情况不是也这样替换吗？

追答

你说的运算法则没错，对ln(1+x)用x等价无穷小替换也没有错，x->0时，ln(1+x)-x-->x^2这个级别，这时x^2肯定也是趋近于0的，你把我上面的那个对ln(1+x)的泰勒展开看明白了就知道是什么回事了。一个趋近于零的值除去一个趋近于零的值相除，要看哪个更加趋近于0.你采纳的答案说的没错，但没有纠正你的错误。