已知数列｛an}的前n项和Sn=n^2,数列｛bn}满足bn=(1/2)^an
2013-06-06 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识，尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖，期望能为你答疑
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证明：
∵sn=n^2
∴s<n-1>=(n-1)^2
∴sn-s<n-1>=2n-1=an
于是
bn=(1/2)^an=(1/2)^(2n-1)
∴anbn=(2n-1)*2^(2n-1)
从而
a1b1+a2b2+.……+anbn
令Tn=1*1/2+3*(1/2)^3+5*(1/2)^5+...+(2n-1)*1/2^(2n-1）
(1/2)^2Tn= ( 1/2)^3+3(1/2)^5+.....+(2n-3)*2^(2n-1)+(2n-1)*1/2^(2n+1)
两式相减得
Tn-(1/2)^2Tn=1/2+ 2(1/2^3+1/2^5+...+1/2^(2n-1)-(2n-1)*1/2^(2n+1)
=1/2+1/3--1/3*(1/2)^(2n-1)-(2n-1)*1/2^(2n+1)
3/4Tn=5/6-1/3*(1/2)^(2n-1)-(2n-1)*1/2^(2n+1)
∴ Tn=10/9-4/9(1/2)^(2n-1)-4/3(2n-1)*1/2^(2n+1)<10/9
所以a1b1+a2b2+....anbn<10/9恒成立
∵sn=n^2
∴s<n-1>=(n-1)^2
∴sn-s<n-1>=2n-1=an
于是
bn=(1/2)^an=(1/2)^(2n-1)
∴anbn=(2n-1)*2^(2n-1)
从而
a1b1+a2b2+.……+anbn
令Tn=1*1/2+3*(1/2)^3+5*(1/2)^5+...+(2n-1)*1/2^(2n-1）
(1/2)^2Tn= ( 1/2)^3+3(1/2)^5+.....+(2n-3)*2^(2n-1)+(2n-1)*1/2^(2n+1)
两式相减得
Tn-(1/2)^2Tn=1/2+ 2(1/2^3+1/2^5+...+1/2^(2n-1)-(2n-1)*1/2^(2n+1)
=1/2+1/3--1/3*(1/2)^(2n-1)-(2n-1)*1/2^(2n+1)
3/4Tn=5/6-1/3*(1/2)^(2n-1)-(2n-1)*1/2^(2n+1)
∴ Tn=10/9-4/9(1/2)^(2n-1)-4/3(2n-1)*1/2^(2n+1)<10/9
所以a1b1+a2b2+....anbn<10/9恒成立
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