Question

求帮忙！这道线性代数讨论矩阵正定性的题，希望给一个详细的解答，最好能写在纸上拍张照片，谢谢！

求帮忙！这道线性代数讨论矩阵正定性的题，希望给一个详细的解答，最好能写在纸上拍张照片，谢谢！第三题

Answer 1

这个是范德蒙行列式，
显然|A|不等于0，即A可逆

而A可逆 ⇒ ATA正定（用定义证）

证明：
x∈Rn为任意非零向量，
则Ax不为0（即列向量中元素不全为0）
从而xT（ATA）x = (Ax)^T(Ax) > 0【因为不全为0的若干数的平方和大于0】
从而ATA正定，即B矩阵正定。

追问

但是A是n*s阶矩阵啊

不是只有n阶矩阵才能可逆

追答

方法类似，只不过不能利用A可逆这个条件
因此题目，让你讨论是否正定。

当s=n时，就可以直接利用A可逆，得出正定
sn时，需要讨论

思路：
先判断，对于x∈Rn为任意非零向量，
Ax是否一定为0

追问

您这样说我看不懂，您能不能完整的写一遍啊，在纸上然后拍下来😅😅😅

Answer 2

如上

Answer 3

讨论Ax和0的关系。当s>n时，r(A)=n<s，Ax有零解，所以Ax>=0，不正定
s<=n，r(A)=s，Ax只有非零解，所以Ax>0，正定

Answer 4