Question

线性代数中关于正定矩阵的一道题

设A是n阶实对称矩阵，AB+B的转置乘A是正定矩阵，证明A可逆。
请细致解答一下，说明分析过程，谢谢！

Answer 1

若A不可逆则存在非零实向量x使得Ax=0
这样一来x^T(AB+B^TA)x=0, 与正定性矛盾

追问

明白了，反正真的简单了很多。如果用定义法您可以帮我解答一下吗？谢谢拉！！！

追答

这就是按定义证的, 还有什么好说的

追问

你这是倒推反证法，你会正着来用定义解出来吗？谢谢！

追答

你要求倒还挺高, 这是最后一次, 再追问我就不管了.
由于A是实对称矩阵, 有谱分解A = ∑ λ_i x_i x_i^T
由正定性, 0 < x_i^T(AB+B^TA)x = λ_i x_i^T(B+B^T)x, 所以 λ_i≠0
这样一来就可以令 C = ∑ λ_i^{-1} x_i x_i^T, 容易验证 AC=CA=I, 所以 A 可逆

Answer 2

0.0…………