Question

平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点。AF与DE相交于G点，CE与BF相交于H点

1.求四边形EHFG为平行四边形。2.若平行四边形ABCD为矩形，则四边形EHFG为什么四边形？为什么？

Answer 1

（1）证：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB平行且相等于CD
又E、F分别是AB、CD的中点
所以EB=FD且EB平行于FD
所以四边形EBFD是平行四边形，因此有ED平行于BF 即 EG平行于FH
同理，EH平行于FG
故有 四边形EHFG为平行四边形（两对边平行的四边形是平行四边形）

Answer 2

1.因为ABCD是平行四边形，E、F是AB、CD中点 连接EF
则EF//AD//BC 根据平行线的性质，倒几次角
易证三角形BEH与三角形CFH与三角形AEG与三角形DFG全等
可得∠FAE+∠AEC=180 ∠ABF+∠DEB=180
则AF//EC DE//BF
四边形EHFG为平行四边形
2. 若平行四边形ABCD为矩形，
则四边形EHFG为菱形
因为EH=1/2*EC
EC为直角三角形EBC的斜边
同理可得四边形EHFG的其他三条边都等于与直角三角形EBC全等的直角三角形的斜边
所以四边形EHFG的四条边相等 为菱形