Question

过点Q(2,-4)作圆O:x^2+y^2=9的割线,交圆O与点A,B,求AB中点P的轨迹方程

Answer 1

设P点坐标（x，y）。AB坐标分别为（x1,y1),(x2,y2),根据题可得以下五个式子：

x1^2+y1^2=9 (1)
x1^2+y1^2=9 (2) （因AB在圆上）
（y1-y2)/(x1-x2)=(y+4)/(x-2) (3) (ABPQ四点共线）
x1+x2=2x (4)
y1+y2=2y (5) (P为AB中点）

别看他们多，你这样计算就很简单的：用（1）-（2），将会得到
(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 此时将（4）、（5）代入整理得到 （y1-y2)/(x1-x2）=-2x/2y 此式与（3）比较就会发现只剩下x，y了，整理就会得到最后的答案了。
说明一下：我这个过程中忽略了当ABPQ与X轴垂直的情况，因为此时不能使用斜率，（3）式就不能成立。具体做的过程中，将此种情况先单独列出，仍然按照上面的做，得到轨迹方程（这个方程是缺少一个点的）以后，将这特殊情况代入，就会发现仍然适合方程，这样那个少的点也加上了
最终的结果我算了一下:-x^2+y^2+2x+4y=0 你可以参考一下

Answer 2

解法一：
过Q做圆的切线，切点为C。
根据切割线定理；QC^2=QB×QA=（QP+PB）（QP-PB）=QP^2-BP^2

QC^2=OQ^2-半径^2=11 BP^2=半径^2-OP^2

设P点坐标（x，y）
11=（x-2)^2+(y+4)^2-9+x^2+y^2
化解后得：x^2+y^2-2x+4y=0

解法二;
因为△OPQ为RT△
所以点P到OQ的中点为定值，P的轨迹为以OQ中点为圆心，以OQ/2 为半径的圆。
OQ中点坐标为（1，-2） OQ^2=2^2+(-4)^2=20

点P的轨迹方程:(x-1)^2+(y+2)^2=5

Answer 3

方法很笨~~
结果一看就知道算错了~~

Answer 4

AB的中点P(x,y)
xA+xB=2x
yA+yB=2y
过点Q(2,-4)的圆O割线AB:k=(y+4)/(x-2)=(yA-yB)/(xA-xB)

x^2+y^2=9
(xA)^2+(yA)^2=9......(1)
(xB)^2+(yB)^2=9......(2)
(1)-(2):
(xA)^2-(xB)^2+(yA)^2-(yB)^2=0
(xA+xB)*(xA-xB)+(yA+yB)*(yA-yB)=0
(xA+xB)+(yA+yB)*(yA-yB)/(xA-xB)=0
2x+2y*(y+4)/(x-2)=0
(x-1)^2+(y+2)^2=5