Question

如图直线y=kx-k+2与抛物线y=1、4x²-1、2x+5、4交于A，B两点抛物线的对称轴于x轴交与点

如图直线y=kx-k+2与抛物线y=1、4x²-1、2x+5、4交于A，B两点抛物线的对称轴于x轴交与点Q（1）证明直线y=kx-k+2过定点P并求出P的坐标（2）当k=0时证明△AQB是等腰三角三角形（3）对于任意的实数

Answer 1

解答：（1）证明：∵y=kx-k+2=k（x-1）+2，∴当x-1=0，即x=1时，y=2，故，直线y=kx-k+2过定点P（1，2）；（2）证明：当k=0时，直线y=kx-k+2=2，交点A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标符合方程组：
y＝2
y＝1
4
x2−
1
2
x+
5
4

，解得：
x1＝−1
y1＝2

，
x2＝3
y2＝2

，即A（-1，2），B（3，2），抛物线y=
1
4
x2-
1
2
x+
5
4
=
1
4
（x-1）2+1，∵抛物线的对称轴与x轴交于点Q，∴Q（1，0），∴AB=
(−1−3)2+(2−2)2
=4，AQ=
(−1−1)2+(2−0)2
=2
2
，BQ=
(3−1)2+(2−0)2
=2
2
，∴AB2=AQ2+BQ2，AQ=BQ，所以，△AQB是等腰直角三角形；（3）解：存在定直线与以AB为直径的圆相切，此直线即x轴，解析式是y=0．理由如下：交点A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标符合方程组：
y＝kx−k+2
y＝1
4
x2−
1
2
x+
5
4

，消掉y得，
1
4
x2-（
1
2
+k）x+k-
3
4
=0，∵x1+x2=2+4k，x1x2=4k-3，∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（2+4k）2-4（4k-3）=16k2+16，（y1-y2）2=k2（x1-x2）2=k2（16k2+16），∴AB=
(x1−x2)2+(y1−y2)2
=
(16k2+16)+k2(16k2+16)
=4k2+4，∴以AB为直径的圆的半径为2k2+2，∵AB的中点是（
x1+x2
2
，
y1+y2
2
），
x1+x2
2
=
2+4k
2
=2k+1，
y1+y2
2
=
k(x1+x2)
2
-k+2=k（2k+1）-k+2=2k2+2，∴AB的中点，即以AB为直径的圆的圆心坐标为（2k+1，2k2+2），∵圆心到x轴的距离刚好等于半径，∴存在定直线与以AB为直径的圆相切，此直线即x轴，解析式是y=0．

Answer 2

饿，题是y=1.4x²-1.2x+5.4不？