Question

在△ABC中，D．E．F分别为AB，BC，CA边的 中点，BF与CD交于点O设向量AB＝向量2a,向

在△ABC中，D．E．F分别为AB，BC，CA边的 中点，BF与CD交于点O设向量AB＝向量2a,向量AC＝向量2b求：1.用向量a，b表示向量Ao，AE；2.求证AOE三点在同一条直线；3.求证OE/AO＝OF/BO＝OD/CO＝1/2

Answer 1

其实本来O点是重心，怎么还要推导和证明呢？
设△BOC的面积为S，△AOF的面积为S1，△AOD的面积为S2
2S1+S2=S+S2，即：S=2S2，2S2+S1=S+S1，即：S=2S1
即：S1=S2，即：Saob=2Saof，即：|BO|=2|OF|
同理：|CO|=2|OD|
AO=AF-OF=AC/2-BF/3=AC/2-(AC/2-AB)/3=(AB+AC)/3=(2a+2b)/3
AE=(AB+AC)/2=a+b
连接OE，OE=(OB+OC)/2=-(BO+CO)/2=-(BF+CD)/3=(AB+AC)/6
即：AO=2OE，即：A、O、E三点共线
且：|AO|=2|OE|，故：|OE|/|AO|=|OF|/|BO|=|OD|/|CO|=1/2