Question

设fx在[0,1]上连续在(0,1)内可导且f(1)=0证明存在一点ξ属于(0,1)使2f(ξ)+ξf'(ξ)=0

Answer 1

证明：令g(x)=x^2，G(x)=g(x)*f(x)。

因为f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导，且g(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导，

那么G(x)=g(x)*f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导。

且G(x)'=(g(x)*f(x))'=(x^2*f(x))'

=x^2f'(x)+2xf(x)

而G(0)=g(0)*f(0)=0*f(0)=0

G(1)=g(1)*f(1)=g(1)*0=0，

即G(0)=G(1)，

那么在(0,1)内存在一点ξ，使G(x)'=0

即G(ξ)'=0

ξ^2f'(ξ)+2ξf(ξ)=0，又ξ≠0，则ξf'(ξ)+2f(ξ)=0

扩展资料：

1、罗尔中值定理的几何意义

若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧 AB 上至少有一点 C，使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。

2、罗尔中值定理的证明

（1）若函数f(x)在区间(a,b)上连续且可导，并有lim(x→a+0)f(x)=lim(x→b-0)f(x)=A，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)'=0。

（2）若函数f(x)在区间(a,b)上连续且可导，并有lim(x→a+0)f(x)=lim(x→b-0)f(x)=+∞(-∞)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)'=0。

（3）若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且可导，并有lim(x→a+0)f(x)=lim(x→b-0)f(x)=A，则至少存在一个ξ∈(-∞,+∞)，使得f(ξ)'=0。

（4）若函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续且可导，并有lim(x→a+0)f(x)=lim(x→b-0)f(x)=+∞(-∞)，则至少存在一个ξ∈(-∞,+∞)，使得f(ξ)'=0。

参考资料来源：百度百科-罗尔中值定理

Answer 2

构造函数F(x)=x²f(x)，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，存在一点ξ∈(0,1)，使F'(ξ)=0。
F'(x)=2xf(x)+x²f'(x)。
所以，2ξf(ξ)+ξ²f'(ξ)=0，所以2f(ξ)+ξf'(ξ)=0。