Question

已知x> 0 y> 0 x+2y+xy=6,求x+2y的取值范围。

Answer 1

已知x> 0 y> 0 x+2y+xy=6,求x+2y的取值范围。
解：由x+2y+xy=6，得y=(6-x)/(x+2)=-(x-6)(x+2)>0，得(x-6)/(x+2)<0，故0<x<6；
又得x=(6-2y)/(1+y)=-(2y-6)(y+1)>0，得(y-3)/(y+1)<0，故得0<y<3；
由y=(6-x)/(x+2)得：2y=2(6-x)/(x+2)，x+2y=x+2(6-x)/(x+2)=(x²+12)/(x+2)；
设u=x+2y=(x²+12)/(x+2)；【0<x<6，0<y<3】
令du/dx=[2x(x+2)-(x²+12)]/(x+2)²=(x²+4x-12)/(x+2)²=(x+6)(x-2)/(x+2)²=0
得驻点x₁=-6(舍去，因为不在定义域内)，x₂=2；当x>2时u'>0，0<x<2时u'<0；故x₂是极小点；
极小值=u(2)=(4+12)/(2+2)=4；即当x=2，y=1时x+2y获得最小值4；
在区间[0，6]的端点上，u(0)=6；u(6)=(36+12)/(6+2)=48/8=6；
故4≦x+2y<6，这就是x+2y的取值范围。

Answer 2

解：利用基本不等式，得：
x+2y≥2√(x×2y)=2√2×√(xy)
所以
6=x＋2y＋xy≥2√2×√(xy)+xy
即：xy+2√2×√(xy)-6≤0，
为方便起见，令k=√(xy)，显然k≥0，则上式变形为：
k^2+(2√2)k-6≤0
解这个不等式，得：
0≤k≤√2
所以
xy=k²≤(√2)²=4
其中等号当且仅当x=2y即x=2√2、y=√2时成立。
故xy的最大值为4

x+2y=6-xy≥6-4=2

x+2y≥2

追问

好像不对！

追答

xy=k²≤(√2)²=2 这里错了
其中等号当且仅当x=2y即x=2、y=1时成立。
故xy的最大值为2

x+2y=6-xy≥6-2=4

x+2y≥4

追问

好像还不对！怎么会正无穷呢？

追答

xy的最大值为2
x+2y+xy=6
x>0,y>0 xy>0
x+2y=6-xy
6>x+2y≥4

Answer 3

因为x+2y+xy=6,所以x+2y=6-xy，又因为x>0，y>0,所以xy>0，-xy<0,6-xy<6，所以x+2y的取值范围是(-∞,6)

追问

此时，X=?