Question

求解一道数学问题

对这道题希望前辈能够仔仔细细的回答，越详细越好，题目如下
已知函数f（x）=-sin²x+2asinx+5，若x∈R，有1≤f（x）≤8，求a的取值范围

我的思考：把sinx看成一个整体X，y=-X²+2aX+5，对称轴是a，当1≥X≥-1里面，他的最大值不可能是8，只有当X=±根号3，才是8.然后我又算当a＞0时4+2a≤8,4-2a≥1，总之脑袋很混乱求高手理清思路

Answer 1

对函数y=-X²+2aX+5 (-1≤X≤1)
函数开口向下，对称轴为a
根据对称轴的位置，通过数形结合分三类讨论：
1°若a<-1，则函数在[-1，1]上单调递减
则最小值为f(1)=4+2a，最大值为f(-1)=4-2a
∴4+2a≥1，4-2a≤8
解得：-3/2≤a<-1
2°若-1≤a≤1
则最大值为f(a)=a²+5，最小值为f(1)=4+2a或f(-1)=4-2a
∴a²+5≤8，4+2a≥1，4-2a≥1
解得：-1≤a≤1
3°若a>1，则函数在[-1，1]上单调递增
则最大值为f(1)=4+2a，最小值为f(-1)=4-2a
∴4+2a≤8，4-2a≥1
解得：1<a≤3/2
综上所述：a的取值范围是：[-3/2，3/2]

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追问

∴a²+5≤8，4+2a≥1，4-2a≥1
解得：-1≤a≤1
这有点不明白a²+5≤8，则-根号3≤a≤根号3.。4+2a≥1，a＜0则-1.5≤a＜0。4-2a≥1，a＞0，则
1.5≥a＞0,。这里应该就是两种情况一个1≥a＞0，一个-1≤a＜0，怎么可以直接合并1≥a≥-1呢？

追答

先求解：
a²+5≤8→-√3≤a≤√3
4+2a≥1→a≥-3/2
4-2a≥1→a≤3/2
解得：-3/2≤a≤3/2……①
再考虑大的约束条件：-1≤a≤1……②
①、②两式取交集得：-1≤a≤1

追问

4+2a≥1→a≥-3/2
4-2a≥1→a≤3/2
这两个应该是两种情况啊，应该分开讨论啊一个a＞0一个a＜0

追答

你分开讨论的话也是可以的！理论上也应该分开讨论
但是在这里是可以合并的，最小值必是其中的一个，只要其中一个满足大于1的话，另一个必定也大于1；而最大值也必是f(a)

Answer 2

j解：设t=sinx，则-1≤t≤1
f(x)变为，y=-t²+2at+5=-(t-a)²+(5+a²) ，1≤y≤8
对称轴t=a。开口向下，左侧单调递增，右侧单调递减
①当-1≤t≤1≤a，即a≥1时，左侧，∴-1-2a+5≥1，-1+2a+5≤8∴1≤a≤1.5
②当a≤-1≤t≤1,，即a≤-1，右侧。∴-1-2a+5≤8, -1+2a+5≥1∴不存在
③当-1≤a≤1.。当a+1=1-a，即a=0时，∴a²+5≤8, -a+2a+5≥1∴存在
当a+1>1-a，即a>o时，∴-1-2a+5≥1，a²+5≤8∴0<a≤1.5
当a+1<1-a，即a<0时，∴-1+2a+5≥1,a²+5≤8∴-1.5≤a<0
∴综上，-1.5≤a≤1.5

追问

是两种答案吧？1≤a≤1.5和，-1.5≤a≤1.5

Answer 3

已知函数f（x）=-sin²x+2asinx+5，若x∈R，有1≤f（x）≤8，求a的取值范围
解：f(x)=-(sin²x-2asinx)+5=-[(sinx-a)²-a²]+5=-(sinx-a)²+a²+5
当a=0时f(x)=-sin²x+5，此时4≦f(x)≦5；故a=0可取.................①；
当a>0时，由maxf(x)=-(1-a)²+a²+5=2a+4≤8，得a≤2；
由minf(x)=-(-1-a)²+a²+5=-2a+4≧1，得a≤3/2；
故0<a≤3/2可取............②；
当a<0时，由maxf(x)=-(-1-a)²+a²+5=-2a+4≤8，得a≧-2
由minf(x)=-(1-a)²+a²+5=2a+4 ≧1，得a≧-3/2
故-3/2≤a<0可取............③；
①∪②∪③={a∣-3/2≤a≤3/2}就是a的取值范围。

Answer 4

1、-1<=a<=1,此时最大值出现在x=a处，最小值是f（1）和f（-1）之间比较小的那个
2、a<-1时，最大值是f（1），最小值f（-1）
3、a>1时，最大值是f（-1），最小值f（1）

Answer 5

f(x)=-sin²x+2asinx+5
令t=sinx∈[-1,1]，则
f(x)=-t²+2at+5=-(t-a)²+5+a²=g(t)，
g(t)图像为一开口向下的抛物线，定义域为t∈[-1,1]
对称轴为t=a，最大值为5+a²
（1）在x∈R上，如有1≤f(x)≤8，即1≤g(t)≤8，则
若-1≤a≤1，则最大值为5+a²≤8，
解得-√3≤a≤√3，与假设取交集得 -1≤a≤1
若a≥1，则g(t)在[-1,1]上为单调递增函数
最小值为g(-1)=-1-2a+5≥1，最大值为g(1)=-1+2a+5≤8
解得 a≤3/2, 且a≤2，与假设取交集得 1≤a≤3/2
若a≤-1，则g(t)在[-1,1]上为单调递减函数
最小值为g(1)=-1+2a+5≥1，最大值为g(-1)=-1-2a+5≤8
解得 a≥-3/2，且a≥-2，与假设取交集得 -3/2≤a≤-1
综上所述，若值域为[1,8]，则a取值范围为 [-3/2,3/2]
（2）f(x)=0有实数解，即-(t-a)²+5+a²=0在[-1,1]上有解
解得 t1=a-√(5+a²)，t2=a+√(5+a²)
则有 -1≤a-√(5+a²)≤1，或 -1≤a+√(5+a²)≤1
解上述不等式可得 -2≤a≤2，或a≤-2
取交集即得a的取值范围为 a≤2

Answer 6

思路不错，主要是考虑到对称轴后可以数形结合，函数开口向下 考虑对称轴和-1 0 1的关系，可以得到在几取得最大值,就可以了