Question

已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高位h，

在图①中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h。
在图②，③，④，⑤中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外。
（1）请探究：图②，③，④，⑤中，h1，h2，h3，h之间的关系。（直接写出结论）
（2）说明图②所得结论。
（3）说明图④所得结论。

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Answer 1

解：（1）图②-⑤中的关系依次是：

h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（4分）

（2）图②中，h1+h2+h3=h．

证法一：

∵h1=BPsin60°，h2=PCsin60°，h3=0，（6分）

∴h1+h2+h3=BPsin60°+PCsin60°

=BCsin60°

=ACsin60°

=h．（8分）

证法二：连接AP，则S△APB+S△APC=S△ABC．（6分）

∴1 2 AB×h1+1 2 AC×h2=1 2 BC×h．

又h3=0，AB=AC=BC，

∴h1+h2+h3=h；（8分）

证明：（3）图④中，h1+h2+h3=h．

过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．（9分）在△ARS中，由图②中结论知：h1+h2+0=h-h3．

∴h1+h2+h3=h．（10分）

说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分；

（4）由（3）可知：h1+h3+h4=mh m-n ．（11分）

让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广．

Answer 2

h1+h2+h3=h

（2）中，h1=PD=(√3/2)PB

h2=PE=(√3/2)PC

h1+h2 =(√3/2)BC=h
(4)过P点做B'C'平行于BC，叫AB于B'，AC于C',AM于 M’
可以证明 PD+PE=AM'，余下可以三高和均为h