Question

已知函数f(x)=sinx/x,下列命题正确的是

1、f(x)是奇函数
②对定义域内任意x，f(x) <1恒成立；
③当 x=3π/2时， f(x)取得极小值；
④f(2)>f(3)

5、当x>0时，若方程f(x)的绝对值=k有且仅有两个不同的实数解α、β（α>β）则β*cosα=-sinβ

Answer 1

已知函数f(x)=sinx/x,下列命题正确的是
1、f(x)是奇函数
②对定义域内任意x，f(x) <1恒成立；
③当 x=3π/2时， f(x)取得极小值；
④f(2)>f(3)
5、当x>0时，若方程f(x)的绝对值=k有且仅有两个不同的实数解α、β（α>β）则β*cosα=-sinβ
解析：∵函数f(x)=sinx/x，其定义域为x≠0
f(-x)=-sinx/(-x)=f(x)==>偶函数；
∴(1)错
∵当x趋向0时，函数f(x)的极限为1
∴在定义域内f(x) <1恒成立
∴(2)正确
当x>0时，f’(x)=(xcosx-sinx)/x^2
f’(3π/2)=(0+1)/(3π/2)^2≠0
∴(3)错
∵当x趋向0时，函数f(x)的极限为1，f(π)=0
∴在区间（0，π】上函数单调减;==>f(2)>f(3)
∴(4)正确
当x>0时，
X∈(0, π)时、f(x)>0,
X∈(π,2π)时、f(x)<0，令当x=α时，f(x)取极小值-k
取绝对值后变成k
∵方程f(x)的绝对值=k有且仅有两个不同的实数解α、β（α>β）
∴cosα=-k
f(β)=sinβ/β
∵k=f(β)=sinβ/β==>-cosα*(β)=sinβ
∴(5)正确
综上：2、4、5正确

Answer 2

首先f（x）定义域关于原点对称，且sinx与x均为奇函数，那么f（x）应为偶函数，所以1错；
由于sinx的导数最大值为1，所以y=sinx的图像始终在y=x下面，所以f(x) <1恒成立，2正确；
f(x)的导数为（xcosx-sinx）÷(x^2)=(x-tanx)÷(x^2cosx),当x=3π/2时导数不为0,所以3不对；
由于y=tanx的图像在y=x之上，所以当x大于0时，x-tanx为负，当x在2,3之间时，因π/2小于2小于3小于π，cos取负，此时f（x）的导数大于0，f（x）递增，4对；

Answer 3

1对
2对
3错
4对
5对吧