Question

已知函数y=x²-（m²+4）x-2m²-12

已知函数y=x²-（m²+4）x-2m²-12
（1）证明：不论m取任何实数，它的图像与x轴总有两个交点
（2）当m取何值时，它的图像在x轴上截得的线段的长是12

Answer 1

1
△=(m²+4)²+4(2m²+12)
=m⁴+16m²+64
=(m²+8)²
2
设x1,x2为x²-（m²+4）x-2m²-12=0的两根
x1+x2=m²+4,x1x2=-2m²-12
|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1x2
=(m²+8)²=144
m=±2

Answer 2

（1）△=（m²+4）^2-4×（-2m²-12）=m^4+16m^2+64＞0
所以不论m取任何实数，它的图像与x轴总有两个交点
（2）令x1＞x2
x1-x2=12
根据韦达定理
x1+x2=m^2+4
x1x2=-2m^2-12
（x1-x2）^2=（x1+x2）^2-4x1x2=(m^2+8)^2
x1-x2=（m^2+8）=12
m=±2