Question

已知函数y=x²-mx+m-2

（1）求证：m无论取什么值，它的图象与x轴总有两个交点
（2）当m取何值时，这两个交点间的距离最小，并求出最小距离

Answer 1

证明：由根的判别式得：
(-m)²-4X1X(m-2)>0
即：m²-4m+8=(m-2)²+4>0
它的图象与x轴总有两个交点
(2)设方程x²-mx+m-2=0两根为x1,x2
由韦达定理得：x1+x2=m,x1*x2=m-2
所以两个交点之间的距离为|x1-x2|= √(x1-x2)²=√[(x1+2)²-4x1x2]=√[m²-4(m-2)]
=√[(m-2)²+4],
所以当m=2时，最小距离为2,.

Answer 2

（1）证明：方程y=0是否有解取决于m^2-4*(m-2)和0的大小关系
而t=m^2-4m+8在R上的值域为[4，正无穷)
故t大于等于0
即图像与x轴有两焦点
（2）|x1-x2|=根号下（m^2-4m+8)
故由（1）知其值域为[2,正无穷）
即最小距离为2