Question

∫x／（x+1）（x+2）（x+3） dx 详细过程

Answer 1

∫x/(x+1)(x+2)(x+3)dx=-1/2ln|x+1|+2ln|x+2|-3/2ln|x+3|+C。C为积分常数。

解答过程如下：

把1/(x+1)(x+2)(x+3)写成分数的和差形式：

1/(x+1)(x+2)(x+3)=1/(x+1)[1/(x+2)-1/(x+3)]

=1/[(x+1)(x+2)]-1/[(x+1)(x+3)]

=1/(x+1)-1/(x+2)-1/2[1/(x+1)-1/(x+3)]

=1/[2(x+1)]-1/(x+2)+1/[2(x+3)]

∫x/(x+a)dx=∫[1-a/(x+a)]dx=x-aln|x+a|+C

求不定积分：

∫x/(x+1)(x+2)(x+3)dx

=∫x/[2(x+1)]-x/(x+2)-x/[2(x+3)]dx

=1/2∫x/(x+1)dx-∫x/(x+2)dx+1/2∫x/(x+3)dx

=1/2(x-ln|x+1|)-(x-2ln|x+2|)+1/2(x-3ln|x+3|)+C

=-1/2ln|x+1|+2ln|x+2|-3/2ln|x+3|+C

扩展资料：

分部积分法

不定积分

设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu两边积分，得分部积分公式

∫udv=uv-∫vdu。

称公式为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到．

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v

一般来说，u,v 选取的原则是：

1、积分容易者选为v。

2、求导简单者选为u。

例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x

分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．

可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。

Answer 2

∫x/(x+1)(x+2)(x+3)dx=-1/2ln|x+1|+2ln|x+2|-3/2ln|x+3|+C。C为积分常数。

解答过程如下：

把1/(x+1)(x+2)(x+3)写成分数的和差形式：

1/(x+1)(x+2)(x+3)=1/(x+1)[1/(x+2)-1/(x+3)]

=1/[(x+1)(x+2)]-1/[(x+1)(x+3)]

=1/(x+1)-1/(x+2)-1/2[1/(x+1)-1/(x+3)]

=1/[2(x+1)]-1/(x+2)+1/[2(x+3)]

∫x/(x+a)dx=∫[1-a/(x+a)]dx=x-aln|x+a|+C

求不定积分：

∫x/(x+1)(x+2)(x+3)dx

=∫x/[2(x+1)]-x/(x+2)-x/[2(x+3)]dx

=1/2∫x/(x+1)dx-∫x/(x+2)dx+1/2∫x/(x+3)dx

=1/2(x-ln|x+1|)-(x-2ln|x+2|)+1/2(x-3ln|x+3|)+C

=-1/2ln|x+1|+2ln|x+2|-3/2ln|x+3|+C

扩展资料：

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

Answer 3

设t=x+2，
原式=∫(t-2)dt/(t³-t)
=∫dt/(t²-1)-2∫dt/(t³-t)
=(1/2)ln[(t-1)/(t+1)]-∫dt²/[t²(t²-1)]
=(1/2)ln[(x+1)/(x+3)]-∫d(t²-1/2)/[(t²-1/2+1/2)(t²-1/2-1/2)]
=(1/2)ln[(x+1)/(x+3)]-ln[(t²-1/2-1/2)/(t²-1/2+1/2)]+C
=[ln(x+1)]/2-[ln(x+3)]/2-ln(x²+4x+3)+2ln(x+2)+C
公式见下图(21):

Answer 4

∫x^3/(1+x^2)dx
=∫(x^3+x-x)/(1+x^2)dx
=∫(x^3+x)/(1+x^2)dx-∫x/(1+x^2)dx
=∫xdx-(1/2)∫2x/(1+x^2)dx
=x^2/2-(1/2)ln(1+x^2)

Answer 5