Question

已知关于X的一元二次方程x^2+2(k-1)x+k^2-1=0有两个不相等的实数根

已知关于x的一元二次方程x^2+2(k-1)x+k^2-1=0有两个不相等的实数根。
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由
（3）若此方程的两个实数根的平方和为30，求实数K。

Answer 1

解:
（1）∵关于x的一元二次方程x^2+2(k-1)x+k^2-1=0有两个不相等的实数根.
∴[2(k-1)]²－4×1×(k²-1)＞0
4k²-8k+4-4k²+4＞0
-8k+8＞0
-8k＞-8
k＜1

(2)如果0是方程的一个根, 把x=0代入方程,得
k²-1=0
k²=1
k=1或k=-1.
当k=1时,方程是x²=0, 解得:x1=x2=0, 则另一个根也是0;
当k=-1时,方程是x²-4x=0, 解得:x1=0, x2=4, 则另一个根是4.
综上，x=0可以是方程的解

（3）设两根分别为：x1，x2，则
由韦达定理可得：
x1+x2=-2（k-1) （1）
X1x2=k²-1 （2）
（1）²-2（2）可得：
x1²+x2²=4（k-1）²-2（k²-1）
又x1²+x2²=30
∴4（k -1）²-2（k²-1）=30
化简可得：
k²-4k-12=0
(k-6)(k+2)=0
解得：k=6或k=-2