Question

高中一道函数题，希望大家有点耐心帮忙解一下！

已知函数f（x）=ax^2-4bx+2alnx（1）若y=f（x）存在极大值和极小值，求b/a的范围（2）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在b∈（a（e+1）/2√e，a（e^2+1）/2e），使得m-n=1，求a范围

Answer 1

b∈（a（e+1）/2√e，a（e^2+1）/2e），你能确定b的范围中有字母a么？
如果没就好算了！

（1）f（x）=ax^2-4bx+2alnx，f'(x)=2ax-4b+2a/x=(2ax^2-4bx+2a)/x (x>0)
∵ y=f（x）存在极大值和极小值
∴2ax^2-4bx+2a=0在x∈（0，+∞）有两个不等的实根
∴△=（4b)^2-4*2a*2a>0,x1+x2=2b/a>0,x1*x2=1>0
得b^2>a^2, ab>0
b^2/a^2>1
b/a>1

追问

真的有

追答

(2)m+n=2b/a, mn=1, m-n=1
(m+n)^2=(m-n)^2 + 4mn=(2b/a)^2
1+4=(2b/a)^2
b=√5a/2
代入b∈（a（e+1）/2√e，a（e^2+1）/2e）后，a没有了，怎么回事？

追问

m+n=2b/a, mn=1, 这是为何

追答

第一问中有x1+x2=2b/a，x1*x2=1

我弄错了m 、n是极大值 和极小值，不是极值点！sorry

追问

m、n是对应的函数值，不是x值

追答

只能由第一小问猜到需令b=ta，
然后代入f（x）=ax^2-4bx+2alnx中，再由f(x1)=m,f(x2)=n 即f(x1)-f(x2)=1
以及x1+x2=2t，x1*x2=1化简运算，具体操作太麻烦了！