Question

若不等式2x<4的解都不能使关于x的一次不等式(a-1)x<a+5成立,则a的取值范围是？

若不等式2x＜4的解都不能使关于x的一次不等式（a-1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（　　）
A. 1＜a≤7 B. a≤7 C. a＜1或a≥7 D.不存在

注意：是“不能使”，应该选D。求完整解答。

Answer 1

不等式：2x<4的解集是：x<2
也就是说，凡是x<2的值，都不能使得：(a－1)x<a＋5成立
第二个不等式是：(a－1)x－(a＋5)<0
则：
(1)当a=1，此时是：0<5，不符合要求；
(2)当a>1时，第二个不等式是：x<(a＋5)/(a－1)，不行；
(3)当a<1时，第二个不等式是：x>(a＋5)/(a－1)
则：(a＋5)/(a－1)≥2
得：a＋5≤2(a－1)
a≥7
此时无解。

从而，这个问题选【D】

Answer 2

2x＜4,则x＜2
再看不等式(a-1)x＜a+5
不等号不改变方向,则a-1＞0,a＞1
x＜(a+5)/(a-1)
x＜2都能使不等式成立,则
(a+5)/(a-1)≥2
a+5≥2a-2
a≤7
综合,得:1＜a≤7
选A

眼晕,看错了
看成:都"能"使关于x的一次不等式（a-1）x＜a+5成立了
不改了,看楼下老师的吧...

追问

您是一奇葩呀……

Answer 3

题目意思是:
x<2时,(a-1)x>=a+5 恒成立
即:(x-1)a>=x+5
若x<1,a<=(x+5)/(x-1)=1+6/(x-1)
当x比1略小时,左边是负无穷
a<=负无穷
故不存在.

Answer 4

反证法：假设a的取值范围存在

由题意得x<2
（a-1）x＜a+5 由于不成立，所以（a-1）x>=a+5 成立

第二个不等式变形得 (a-1)x<5+x
当x趋近于0+ (即x>0且无限接近于0)
a>=5/x+2 (x>0所以两边除x不等号不变)
此时不等式右边 lim(x趋近于0﹢) 5/x+2 = +∞
显然a>=+∞不符事实，所以与假设矛盾

所以a的取值不存在

Answer 5

选择题，就用特殊值法
当x=1时，不等式（a-1）x＜a+5 是恒成立的，
也就是说，当x<2时，无论a为什么值，不等式（a-1）x＜a+5 总有成立的时候，
因此，x<2时都不能使不等式（a-1）x＜a+5 成立，是办不到的，
即a不存在，故选D

Answer 6

X<2,x可以取<2的任意值，无论取何值，总有在x<2范围内的值可该不等式成立