Question

解析里说的对称性可以用几何证明吗？

9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程：
（ ▲ ）.
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF的方程．

Answer 1

可以。证明直线OE和OF关于y轴对称。

过A作平行于BC的直线顺次交直线CF、OF、OE、BE于G、M、N、H，如图。

由一束直线与平行线相截的比例关系可以写出

对应F点：MA/GA=BO/BC；对应E点：AN/AH=OC/BC，相除得(MA/AN)*(AH/GA)=BO/OC，

对应P点还有比例式AH/GA=BO/OC，代入上式得MA/AN=1，就是MA=AN，

因为MN∥BC,所以MN⊥AO,故N和M关于y轴OA对称，于是直线OE和OF也就关于y轴对称。

还有一种广义上的对称，就是一个图形两边的结构、形态一样时，对应的几何元素也就具有对等的几何性质。例如本题，见附图，y轴两边是“对称”的，则OE和OF的方程存在着“对称”的关系。——对换字母b、c，可以由一个方程式改写出另一个方程式。

若已知OE的方程是y=[ap(c-b)]x/[bc(p-a)]，只要保留字母a、p、x不动，把方程式中的b换成c，而把c换成b，就得到OF的方程：y=[ap(b-c)]x/[bc(p-a)]。