Question

如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一个动点,PE⊥MC于点E,PF⊥BM于点F

如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一个动点,PE⊥MC于点E,PF⊥BM于点F.(1)探索:当矩形ABCD的边AB与宽BC满足什么数量关系时,四边形PEMF为矩形?请加以证明.(2)探索:在(1)中,当点P运动到BC的什么位置时,矩形PEMF成为正方形?请加以证明.

Answer 1

（1）解：当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．
证明：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=1 2 AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四边形PEMF为矩形，
即当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．

（2）解：当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．
理由是：∵PEMF为矩形，
∴∠PFM=90°=∠PFB=∠PEC，
在△BFP和△CEP中
∠FBP=∠ECP ∠PFB=∠PEC BP=CP ，
∴△BFP≌△CEP，
∴PE=PF，
∵四边形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．

Answer 2

1）
由题目可知四边形PEMF的两个内角PBM和PEM都是直角90度。于是PEMF成为矩形的充要条件为角EMF为直角。
M是矩形一边AB的中点，所以角AMB和角CMD都是45度，于是三角形ABM和CDM都是等腰直角三角形。

因此，AM=AB, DM=CD，即PEMF为矩形等价于AD=2AB。

2)
若为正方形，则需PF=PE，由此可知P应在BC的中点处。

Answer 3

1）
由题目可知四边形PEMF的两个内角PFM和PEM都是直角90度。于是PEMF成为矩形的充要条件为角EMF为直角。
M是矩形一边AB的中点，所以角AMB和角CMD都是45度，于是三角形ABM和CDM都是等腰直角三角形。

因此，AM=AB, DM=CD，即PEMF为矩形等价于AD=2AB。

2)
若为正方形，则需PF=PE，由此可知P应在BC的中点处。

Answer 4

（1）
∵∠A=∠D=90°，AD=2AB=2CD，AM=DM=1 2 AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四边形PEMF为矩形，
即当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．

（2）
∵∠PFM=90°=∠PFB=∠PEC，∠FBP=∠ECP，BP=CP ，
∴△BFP≌△CEP，
∴PE=PF，
∵四边形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
所以P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．