Question

已知实数x,y满足y=x^2-2x+2(-1<=x<=1)试求y+3/x+2的最大值与最小值

已知实数x,y满足y=x^2-2x+2(-1<=x<=1)试求y+3/x+2的最大值与最小值

Answer 1

解:y=x^2-2x+2=(X-1)^2+1.

(Y+3)/(X+2)就是直线的斜率,且此直线过定点(-2,-3).
令,K=(Y+3)/(X+2),则有
K=[y-(-3)]/[x-(-2)],即定点为:(-2,-3).
也就是:过定点的直线方程与抛物线相交的斜率的取值范围.
当X=-1时,此时过点(-2,-3)的斜率最大,
Y=(-1)^2-2*(-1)+2=5.
即,K=(5+3)/(-1+2)=8.

当X=1时,此时过点(-2,-3)的斜率最小.
Y=1-2+2=1.
K=(1+3)/(1+2)=4/3

即,：(y+3)/(x+2)的最大值与最小值分别为:8和4/3.

追问

,且此直线过定点(-2,-3).为什么?

追答

换一种做法：
解：∵y=x2-2x+2
∴(y+3)/(x+2)=(x^2-2x+5)/(x+2)
令x+2=t（1≤t≤3），则x=t-2
∴(y+3)/(x+2)
=(t^2-6t+13)/t
=t+13/t-6
设f(t) =t+13/t-6
f′（t）=1-13/t^2
∴函数在[1，3]上，f′（t）＜0，函数为减函数
∴t=1时，函数取得最大值f（1）=8；t=3时，函数取得最小值f（3）=4/3

追问

f′（t）=1-13/t^2。。。why？？？

Answer 2

把方程化成y+3/x+2即可