Question

在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC。求证：BD^2=AB^2+BC^2

用余弦定理做

Answer 1

证明：在四边形外部作等边三角形BCE。连接AC、AE。
则 ∠EBC=∠ECB=60° EC=BC=BE
∵AD=DC ∠ADC=60°
∴∠ACD=60° AC=DC
∵∠ECA=∠ECB+∠BCA ∠BCD=∠ACD+∠BCA
∴∠ECA=∠BCD
∴⊿ECA≌⊿BCD
∴EA=BD
∵∠ABC=30°
∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°
∴EA²=AB²+BE²
∴BD²=AB²+BC²

Answer 2

证明：以BC为边向外作等边△BCE，连AE、CE
∵∠ADC=60°，AD=DC
∴AC=DC
又CE=CB，∠ACE=∠ACB+60°=∠DCB
∴△ACE≌△DCB
∴AE=DB

∵∠ABC=30°，∠EBC=60°
∴∠ABE=90°
由勾股定理AE^2=AB^2+BE^2
等边△BCE中，BE=BC，而AE=DB
∴BD^2=AB^2+BC^2