Question

如图①，在平面直角坐标系中，点 A（0，3），点 B（-3，0），点 C（1，0），点 D（0，1）

如图①，在平面直角坐标系中，点 A（0，3），点 B（-3，0），点 C（1，0），点 D（0，1），连 AB，AC，BD（I）求证：BD⊥AC（II）如图②，将△BOD 绕着点 O 旋转，得到△B'OD'，当点 D'落在 AC 上时，求 AB'的长（III）试直接写出（II）中点 B'的坐标

Answer 1

⑴由ΔBDO≌ΔACO，得∠OBD=∠OAC，∵∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠OBD+∠COA=90，∴BD⊥AC，
⑵过O作OH⊥CD‘于H，由sin∠OCA=CH/OC=OC/AC=1/√10，得：
CH/1=1/√10，CH=√10/10，∵OC=OD’，∴CD‘=2CH=√10/5，
∴AD’=AC-CD‘=4√10/5，
在RTΔAB’D‘中，AB’=√(B‘D’^2-AD‘^2)=√65/5；
⑶OH=√(OC^2-CH^2)=3√10/10，
过D’作D‘M⊥X轴于M，过B‘作B’N⊥X轴于N，

由SΔOCD‘=1/2OC*D’M=1/2CD‘*OH，得，D’M=3/5，
∴OM=√(OD“^2-D‘M^2)=4/5，
由RTΔOB‘N∽RTΔD’OM得：ON/D‘M=B’N/OH=OB’/OD‘=3，
∴ON=3D’M=9/5，B‘N=3OH=12/5，
∴B’(-9/5，12/5)。