Question

已知等边三角形ABC，延长bc到d，连接ad，在ad上取一点e，连接be交ac于f，

已知等边三角形ABC，延长bc到d，连接ad，在ad上取一点e，连接be交ac于f，若af+cd=ad，de=2，af=4，则ad=

Answer 1

解：

延长CA到G，使AG=CD，连接BG，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

∴∠BAG=∠ACD=120°，

在△BAG和△ACD中，

AB=AC，∠BAG=∠ACD，AG=CD，

∴△BAG≌△ACD（SAS），

∴BG=AD，∠ABG=∠CAD，

∵AF+CD=AD，

∴FG=AF+AG=AD，

∴BG=FG，

∴∠GBF=∠GFB，

∵∠GBF=∠ABE+∠ABG，∠GFB=∠AEB+∠CAD，∠ABG=∠CAD，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

设AD=a，则BG=FG=a，AB=AE=a-2，AG=FG-AG=a-4，

过点B作BH⊥AC于H，

则AH=1/2AB=1/2（a-2）=a/2-1，

BH=√3/2AB=√3（a-2）/2，

GH=AH+AG=a/2-1+a-4=3a/2-5，

根据勾股定理，BG²=BH²+GH²，

即a²=3（a-2）²/4+（3a/2-5）²

解得a=7，

即AD=7.