已知如图,在△ABC中,AB=AC,延长BC到D,使BD=2BC连接AD,过C作CE⊥BD交AD于点E,连接BE交AC于点O
【证法1】
取AD的中点M，连接CM。
∵BD=2BC
∴DC=BC
∴CM是△DBA的中位线
∴CM=1/2AB，CM//BA
∴∠DCM=∠DBA
∵AB=AC
∴∠DBA=∠ACB
∴∠DCM=∠ACB
∵CE⊥BD，DC=BC
∴DE=BE（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∴∠D=∠CBE
∵在△DCM和△BCO中
∠D=∠CBO，DC=BC，∠DCM=∠BCO
∴△DCM≌△BCO（ASA）
∴CM=OC
∵CM=1/2AB=1/2AC
∴OC=1/2AC
∴OA=OC
【证法2】
取AB的中点G，连接CG。
∵C是BD的中点
∴CG是△ABD的中位线
∴CG//DA
∴∠BCG=∠D
∵CE⊥BD
∴CE垂直平分BD
∴BE=DE
∴∠DBE=∠D
∴∠BCG=∠DBE
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABC-∠DBE=∠ACB-∠BCG
即∠ABO=∠ACG
又∵AB=AC，∠BAO=∠CAG（公共角）
∴△BAO≌△CAG（ASA）
∴OA=AG
∵AG=1/2AB =1/2AC
∴OA=1/2AC
∴OA=OC
【证法3】
过点A作AH⊥BC于H，AH交BE于K。
∵AB=AC
∴∠BAH=∠CAH（三线合一）
∵AH⊥BC，CE⊥BD
∴CE//AH
∴∠ACE=∠CAH
∴∠ACE=∠BAH
∵DC=BC，CE⊥BD
∴DE=BE（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∴∠D=∠DBE
∵∠AEC=∠ECD+∠D=90°+∠D
∠AKB=∠KHB+∠DBE=90°+∠DBE
∴∠AEC=∠AKB
又∵AC=AB
∴△AEC≌△BKA（AAS）
∴CE=AK
又∵∠ECO=∠KAO，∠COE=∠AOK
∴△COE≌△AOK（AAS）
∴OA=OC
【证法4】
过点A作AN//BD，交BE的延长线于点N 。
则∠N=∠DBE，∠BAN+∠ABC=180°
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠ACD+∠ACB=180°
∴∠BAN=∠ACD
∵∠DBE=∠D【略①②③都证过】
∴∠N=∠D
∴△BAN≌△ACD（AAS）
∴AN=CD
∵BC=CD
∴AN=BC
又∵∠N=∠CBO，∠AON=∠COB
∴△AON≌△COB（AAS）
∴OA=OC
