Question

求证几何题

如图，三角形EFD为正三角形，E,F,D在另一三角形ABC边AB,BC,CA上，且AE=BF=CD,作三角形EFD的外接圆交AB,BC,CA于I,G,H点，连接IG,GH,HI
求证：IHG也为正三角形并全等于三角形EFD
其中AE<BE

Answer 1

(1)证明三角形ABC是等边三角形。这个问题其实IBM在 1998年出的一道智力题。原题链接请看http://domino.research.ibm.com/Comm/wwwr_ponder.nsf/challenges/August1998.html
IBM给出了几种不同的解法，请参见
http://domino.research.ibm.com/Comm/wwwr_ponder.nsf/Solutions/August1998.html
http://www.research.ibm.com/ponderthis/pdf/IBMPuzzle_Aug1998_Zhong_Nan.pdf
http://www.research.ibm.com/ponderthis/pdf/IBMPuzzle_Aug1998_Sandy_Jelly.pdf

（2）证明三角形AEH、BFI、CGD均为等边三角形并且他们三个彼此之间互相全等

以三角形AEH为例，∠A已知是60度，下面证明∠AHE=60度

四边形EFDH为圆的内接四边形，所以有∠EHD与∠EFD互补，
而∠EHD与∠AHE互补，所以得出∠AHE=∠EFD=60度

所以三角形AEH为等边三角形。同理，三角形BFI、CGD均为等边三角形
又因为AE=BF=CD，所以三个等边三角形的边长相等。

所以，三角形AEH、BFI、CGD均为等边三角形并且他们三个彼此之间互相全等

（3）证明三角形AHI全等于BFE，三角形CDF全等于BIG，以及三角形AED全等于CGH

以“三角形AHI全等于BFE”为例

AH=BF（由（1）中可知）
∠A=∠B=60°
AI=BE （因为AI=AE+EI，BE=BI+EI，并且AE=BI）

所以三角形AHI全等于BFE，所以HI=EF。
同理，三角形CDF全等于BIG，以及三角形AED全等于CGH。从而得出IG=DF，HG=ED

所以IHG也为正三角形并全等于三角形EFD

追问

此题能不能绕开三角形ABC是正三角形这个结论？

追答

目前还真没想出来。

如果真能绕过三角形ABC，证明出IHG也为正三角形。这就会进一步证明三角形ABC是正三角形。这样的话，就找到了一条非常好的方法来证明三角形ABC是正三角形了。解决了IBM难题了！

我是无能为力了。祝你好运哈！