Question

中值定理难题

中值定理难题在线等，最好有电子版的

Answer 1

这是。。小号？

Answer 2

因为∫(a,(a+b)/2)f(x)dx=0，所以根据积分中值定理，存在m∈(a,(a+b)/2)，使得f(m)=0
同理，存在n∈((a+b)/2,b)，使得f(n)=0
令g(x)=e^(xarctanx)*f(x)
因为g(m)=e^(marctanm)*f(m)=0，g(n)=e^(narctann)*f(n)=0
且g(x)在[m,n]上连续，在(m,n)上可导
所以根据罗尔定理，存在ξ∈(m,n)⊆(a,b)，使得g'(ξ)=0
e^(ξarctanξ)*f'(ξ)+e^(ξarctanξ)*[arctanξ+ξ/(1+ξ^2)]*f(ξ)=0
f'(ξ)+[arctanξ+ξ/(1+ξ^2)]*f(ξ)=0
(1+ξ^2)*f'(ξ)+[(1+ξ^2)arctanξ+ξ]*f(ξ)=0
原题得证