Question

limx->0（cos2x+2xsinx）^（1/x^4），我每次算下来都是e的2/3次方，谁能告诉我哪里错了？

cos2x=1-2sin方x 带入 ，然后提出2sinx ，实际上就是相当于求lim（x->0）2sinx（x-sinx）/x四次方，接着sinx~x替换，就是2（x-sinx）/x三次方，然后泰勒公式展开sinx，算下来是2/3，到底哪里错了，疯了！！
答案是e的1/3次方

Answer 1

其实就是e^x－1等价于x，ln(1+x)等价于x，sinx等价于x。1、(1+sinx)^x－1＝e^(xln(1+sinx))－1等价与xln(1+sinx)等价于xsinx等价与x^2。2、先用洛必达法则求极限(tanx)^x，lim(tanx)^x=e^(limxlntanx)=e^(limlntanx/(1/x))＝e^(limsec^2x/tanx/(－1/x^2))=e^(lim－x^2/(sinx*cosx))=e^0=1，因此x(tanx)^x等价于x。3、[e^(sin^2x)－1]ln(1+x^2)等价于(sin^2x)*x^2等价于x^4。

追问

跟这个题没什么关系啊

Answer 2

你缺了一个等价无穷小，你要先等价，然后再用泰勒展开，不然你的cos2x展开后的1消不了，你用ln(1＋x)~x，这个x整体代替cos2x＋2xsinx，这样就可以得x-1出来，这样e的lim ln()这就可以去掉ln这个符号了，这样就可以求e的lim (cos2x＋2xsinx-1）/x^4，到这你再用泰勒展开，就会有cos-sinx时的(2/3x^4-1/3x^4)/x^4，去掉高阶无穷小后极限就等价于e^1/3了

Answer 3

sinx泰勒展开是x－x∧3/6+o（x∧3），约后就剩下2/6，不就是1/3。