Question

判断正项级数（1-cos1/n）收敛还是发散，用比较原则判断

还有判断级数a^(1/n)-1收敛还是发散a>1，要过程

Answer 1

有两个基本极限: lim{x → 0} (1-cos(x))/x² = 1/2, lim{x → 0} (a^x-1)/x = ln(a).
可知n → ∞时0 ≤ 1-cos(1/n)与1/n²是同阶无穷小.
根据比较判别法, 由∑1/n²收敛, 知∑(1-cos(1/n))收敛.
而n → ∞时0 ≤ a^(1/n)-1与1/n是同阶无穷小.
根据比较判别法, 由∑1/n发散, 知∑a^(1/n)-1发散.

追问

这两个 lim{x → 0} (1-cos(x))/x² = 1/2, lim{x → 0} (a^x-1)/x = ln(a).没听说过

追答

这两个其实都算是基本极限了, 证法有很多.
从基础证起的话:
前者(1-cos(x))/x² = 2sin²(x/2)/x², 然后对t = x/2由lim{t → 0} sin(t)/t = 1即得.
后者对t = a^x-1, 有x = ln(1+t)/ln(a),
于是由lim{t → 0} t/ln(1+t) = lim{t → 0} 1/ln((1+t)^(1/t)) = 1即得.

如果不愿这个费功夫, 二者都可以用洛必达(L'Hospital)法则.
或者用Taylor展开cos(x) = 1-x²/2+o(x²), a^x = e^(xln(a)) = 1+xln(a)+o(x).

注: 严格来说指数函数求导公式一般是基于后面这个极限来证明的,
因此用洛必达法则在逻辑上有循环论证的嫌疑.
从这里也能看出这个极限是很基本的, 建议掌握.