Question

问题1:如图1,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AB=BC=CD,点M,N分别在AD,CD上,若∠MBN= ∠A

（东一24.） 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；

问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.

Answer 1

第一问是MN=AM+CN;
（2）MN=CN-AM．
如图，作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°，
又∵∠BAD+∠BAM=180°，
∴∠C=∠BAM，
在△ABM和△CBM′中，
（∠CBM′=∠ABM′ AB=BC ∠C=∠BAM）
∴△ABM≌△CBM′（ASA），
∴AM=CM′，BM=BM′，
∵∠MBN=1/2∠ABC
∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=1/2∠ABC
∴∠MBN=∠M′BN，
在△MBN和△M′BN中，
（BM=BM′ ∠MBN=∠M′BN BN=BN ）
∴△MBN≌△M′BN（SAS），
∴MN=M′N，
∵M′N=CN-CM′=CN-AM，
∴MN=CN-AM．
能看懂吗？不懂问

Answer 2

设PF=m，PE=N，BC=L，BP=a（未知），CP=（L-a)
由于PF平行于DC，那么
PE：DC=BP：BC即
n：3=a：L
n=3a/L

由于PE平行与AB，那么
PE：AB=CP:BC即
m：3=（L-a）：L
m=3（L-a）/L

那么m+n=3a/L+3（L-a）/L
=3
所以m+n是个常数，即x的值不会变化