Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90度,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点

如图,在Rt△ABC中,∠C=90度,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q做射线OK垂直AB，交折线BC-CA与点G。点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间是t秒（t>0）

Answer 1

解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，∴DF= 12AB=25

（2）能．
如图1，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，
∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分
（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），
此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t= 12.5+164=7 18．

（3）①当点P在EF上（2 67≤t≤5）时，
如图2，QB=4t，DE+EP=7t，
由△PQE∽△BCA，得 7t-2050= 25-4t30．
∴t=4 2141；
②当点P在FC上（5≤t≤7 67）时，
如图3，已知QB=4t，从而PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=7 12；

（4）如图4，t=1 23；如图5，t=7 3943．
（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：
当0＜t≤2 67时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，
如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7 67当时，点P，G均在FC上，也不存在
PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7 67＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，
如图5，当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）．

Answer 2

解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=40， ∵D，F是AC，BC的中点， ∴DE∥BC，EF∥AC， ∴DF=AB=20
（2）能．
如图，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H， ∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，
∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分 （注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明）， 此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16． ∴QH+BH=BQ=28.5 ∴t=7.125 ∵7.125＜10 ∴能 故t=7.125．
（3）①当点P在EF上（2 ≤t≤5）时， 如图，QB=4t，DE+EP=7t， 由△PQE∽△BCA，得 ． ∴t=4 ；
②当点P在FC上（5≤t≤7 ）时， 如图，已知QB=4t，从而PB=5t， 由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20． 解得t=7.5；

（4）如图4，t=1 ；如图5，t=7 ．
（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2 时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7 当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7 ＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）

好多人的第三问第二小问给错了，应该是7.5不是7

Answer 3

（1）25 （2）t=7.125
（3）t=135/41和7.5
（4）t=5/3和340/43