Question

已知点p(x,y)是圆(x-1)^2+(y+1)^2=4上一动点求x^2+y^2+2x的取值范围

Answer 1

由(x-1)^2+(y+1)^2=4可得x^2+y^2+2x=2-2y
y的取值范围为-3<y<1
所以-1<-y<3 -2<-2y<6 0<2-2y<8

所以x^2+y^2+2x的取值范围为0<x^2+y^2+2x<8

追问

2-2y=x^2+y^2-2x 吧

追答

不好意思，我看错题了
(x-1)^2+(y+1)^2=x^2+y^2-2x+2y+2=4，x^2+y^2=2x-2y+2
设z=x^2+y^2+2x=4x-2y+2，则y=2x+1-z/2
直线y=2x+1-z/2与圆相切时，z能分别取得最大值和最小值
直线y=2x+1-z/2到圆心（1，-1）的距离d=|2+1-z/2+1|/（5^(1/2)）=2
（根号不会打，就这样代替了）
z1=8-4[5^(1/2)]，z2=8+4[5^(1/2)]
所以x^2+y^2+2x的取值范围为8-4[5^(1/2)]<x^2+y^2+2x<8+4[5^(1/2)]

追问

为什么不能把x^2+y^2+2x看作（x+1)^2+y^2-1 然后（x+1)^2+y^2看作是点p到点（-1,0）的距离（觉着你是对的，但想知道我的方法错在哪）

追答

可以把x^2+y^2+2x看作（x+1)^2+y^2-1，然后设z=x^2+y^2+2x=（x+1)^2+y^2-1
（x+1)^2+y^2=z+1
（注意这个圆的x、y的范围要求{（x，y）|(x-1)^2+(y+1)^2=4}）
点p到点（-1,0）的距离是（z+1）^(1/2) （而不是z）

当圆（-1,0）与圆（1，-1）分别外切、内切时，z分别取得最小值和最大值

两圆心的距离d=5^(1/2)

所以最大值z=(d+2)^-1=8+4[5^(1/2)]，最小值z=(d-2)^-1=8-4[5^(1/2)]

所以x^2+y^2+2x的取值范围为8-4[5^(1/2)]<x^2+y^2+2x<8+4[5^(1/2)]