四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点
四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;(2)在线段AN上是否...
四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;
(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES⊥平面AMN? 若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由. 展开
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;
(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES⊥平面AMN? 若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由. 展开
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解:
(1)作正方体ABCD-PNQM,并作相关连线,标注相关点,如上图。
∵AB//MQ且AB=MQ
∴ABQM是平行四边形
∴AM//BQ
∴cos∠NGQ即为所求
在正方形BCQN中可顺次得到
NQ=NB=BC=2BE=1
BE=1/2
NE=√(BE²+NB²=√5/2
BQ=√(NQ²+NB²)=√2
NG=2NE/3=√5/3
QG=2BQ/3=2√2/3
于是在△GNQ中使用余弦定理得
cos∠NGQ=(NG²+QG²-NQ²)/(2NG·QG)=√10/10
(2)存在S为AN中点,则
∵BE=EC且BS=SP
∴ES//CP
∵AP⊥面PNQM且MN在面PNQM上
∴MN⊥AP
又∵MN⊥PQ且AP∩PQ=P
∴MN⊥面APQC
又∵CP在面APQC上
∴MN⊥CP
同理AM⊥CP
又∵ES//CP
∴ES⊥MN且ES⊥AM
又∵MN∩AM=M
∴ES⊥面AMN
AS=AN/2=√2/2
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