Question

已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2,x∈[-1,1]

已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2,x∈[-1,1]
1 求f（x）的最小值
2关于x的方程f（x）=2a^2有解，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=(2^x-a)^2+(2^(-x)+a)^2
=2^(2x)-2a2^x+a^2+2^(-2x)-2a2^(-x)+a^2
=2^(2x)+2^(-2x)-2a(2^x+2^(-x))+2a^2
=[2^x+2^(-x)]^2-2a(2^x+2^(-x))+2a^2-2
=[2^x+2^(-x)-a]^2+a^2-2

当a≥5/2 有最小值f(1)=[5/2-a]^2+a^2-2
当a≤2， 有最小值f(0)=[2-a]^2+a^2-2
当2<a<5/2则有最小值=a^2-2

关于方程f(x)=2a^2有解
f(x)=2^(2x)+2^(-2x)-2a(2^x+2^(-x))+2a^2＝2a^2
2^(2x)+2^(-2x)-2a(2^x+2^(-x))=0
2^(4x)+1-2a(2^(2x)+1)=0
4^(2x)-2a*4^x+1-2a=0

这是关于4^x的方程
即△=(-2a)^2-4(1-2a)≥0
a^2+2a-1≥0
a≥-1+√2，a≤-1-√2
又4^x=[2a±2√(a^2+2a-1)]＞0
故a≥-1+√2

Answer 2

解：1.f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2=2^2x-2a2^x+a^2+a^(-2x)+2a2^-x+a^2=(2^2x+x^-2x)-2a(2^x-2^-x)+2a^2=(2^2x+x^-2x)-2a根号(2^x-2^-x)^2+2a^2=(2^2x+x^-2x)-2a根号(2^2x+2^-2x-2)+2a^2>=2根号（2^2x*x^-2x）-2a根号[2根号（2^2x*x^-2x）-2]+2a^2=2+2a^2当且仅当2^2x=x^-2x既，x=0时候取等号。所以f(x)min=2+2a^2