Question

在△ABC,AB=BC=2,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E且点D是BE中点

（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）求DE的长；（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD全等于△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解；1，连接AD，因为AB是圆O的直径，所以AD⊥BC，因为D是BC的中点，所以△ABC是等腰三角形。AB=AC,因为AB=BC，所以△ABC是等边三角形。
2，因为四边形ABDE是圆内接四边形，所以∠EDC=∠A=60°，因为∠B=60°，所以DE∥AB，因为D是AB中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE=1/2AB=1.。
3，存在，由于△AED是等腰三角形，只需PB=BD=1时△PBD与△AED全等。

Answer 2

原题的点D是BC的中点吧？ 连接AD，直径所对的圆周角是直角，所以AD⊥BC,因为点D是BC中点，所以AB=AC所以△ABC为等边三角形
在△DEC中角C=60度，角EDC=角A=60度，所以△DEC也是等边三角形，DE=1
假设在AB的延长线上存在一点P使△PBD全等于△AED，因为角PBD=角DEA BD=AE=2，DE=1所以只需BP=1.

Answer 3

1、证明
∵D为圆上一点
∴AD⊥BC
∵D为BC的中点
∴AC＝AB
∵AB＝BC
∴等边△ABC
2、解
∵等边△ABC，AD⊥BC
∴∠BAD＝∠CAD＝30
∵∠BED、∠BAD所对应圆弧均为劣弧BD
∴∠BED＝∠BAD＝30
∵E为圆上一点
∴BE⊥AC
∴∠ABE＝30
∵∠EDA、∠ABE所对应圆弧均为劣弧AE
∴∠EDA＝∠ABE＝30
∴DE∥AB
∴∴DE/AB＝DC/BC
∴DE/2＝1/2
∴DE＝1
3、存在△PBD全等于△AED
证明
延长AB至P，取PB＝BD
∵∠DAE＝∠EAD＝30
AE＝DE
∵DE∥AB
∴CE/AC＝CD/BC＝1/2
∵AC＝BC
∴AE＝BD
∵∠PBD＝180-∠ABC＝180-60＝120
∠AED＝180-（∠EDA+∠DAE）＝180-60＝120
且PB＝BD
∴△PBD全等于△AED