Question

物理竞赛一条老题目，求详解！！

广而深的静水池中竖立一固定细杆，其露出水面部分套一个位长度为L，密度为ρ，界面均匀的匀质细管。细管可沿杆无摩擦地，竖直上下滑动，因套在杆上，不会倾倒，现在用手持管，使管的下端刚刚与水面接触。放手后管竖直下沉。设水的密度为ρ水，不计水的阻力和表面张力
(1)当管的密度等于某一值ρ0时候，管能下沉到刚好全部沉入水中,求ρ0
(2)在ρ=ρ0的情形下 ，管下沉所经历的时间等于什么？
(3)设管的密度ρ=2/3ρ水，求管下沉到最后位置所需的时间？

Answer 1

.分析：依题意。如图19-132所示，设管静平衡时浸入水中长，由平衡条件得

S为管的截面积，所以
(1)
以静平衡位置为原点，建立如图7-15所示的坐标，描述管上P点的运动。P在处时，有

方向向上，是其回复力，得
(2)
其回复力符合简谐振动的定义，所以管在水中做简谐振动，且，而
则 (3)
管下沉到刚好全部浸入水中时，速度为零，而管子由刚好全部在水面上速度为零，而运动到全部在水面下速度为零，位移为管长L，由振动的对称性可知，管子做振动的平衡位置在位移L/2处，故求得：

当时，下沉所需时间为T/2，所以
当时，管在全部没入水中后还将继续下沉。但管全部入水后的下沉过程中，浮力不再改变，其运动加速度与全部没入水中前不同，所以应把管的下沉过程分为两个阶段来考虑。
第一阶段为管从开始下沉到刚好全部没入水中，其平衡位置为

由3式及1式得

静止开始时，管离平衡位置的距离为故简谐振动的振幅为
利用参考圆可以求出这一阶段的下沉运动所需时间
第二阶段，管全部浸入水中后，继续下沉，做匀减速运动。可以由动能定理求出刚好全部浸没水中时管的速度，即有

得
下沉加速度

方向向上，所以下沉时间

得下沉的总时间

解：（1）若，管将下沉到池底，因此只有时，才可能符合题给的情况。管下沉时，其重力势能减小，同时，在管全部沉没以前，管所排开的水可认为静止地移到池面（这部分水的重心在水下L/2处），这部分水的重力势能增加，管沉没的开始阶段，其动能增加，以后动能减小，在下沉停止时动能又为零。
按题意，若值时，管刚好全部没入水中，令管的截面积为S，有管的重力势能减小，这时管所排开的全部水的势能的增加等于所排开水柱的质量乘以其重心上升的高度，所以管所排开的水的重力势能增加。不计水的阻力时，可以认为下沉过程中管与水的总机械能守恒。因为始末动能均为零，应有，即

得
（2）研究管下沉的运动。当管下端的深度为时，管受重力，浮力，管所受合力（不计表面张力、阻力）为
(1)
方向向下，若是，管受合力为零，则由1式可得
(2)
代入得
管入水后的加速度为
(3)
可见管入水后应做竖直方向的简谐振动，振幅为
当时，，又，得
(4)
管下端由到（全部没入水中）所需的时间t为半个周期，则

（3）由于，管在全部没入水中后还将继续下沉。但管全部入水后的下沉过程分为两个阶段。第一阶段是管从开始下沉到刚好全部沉入水。在这一阶段中，在的情形下，第（2）问中的(1)、(2)、(3)、(4)式都适用。因此这阶段中管按简谐振动规律运动，其平衡位置在

简谐振动周期为

由静止开始时，管离平衡位置的距离为，故简谐振动的振幅为。利用参考圆可以求出这一阶段的下沉运动所需的时间t1。设质点沿半径为的圆周以角速度运动，质点在轴上的投影即代表管下端的运动。如图19-133所示。当管刚好全部没入水中时，，已越过平衡位置。从参考圆可得，在管下端由下沉到时，质点运动所转过的角度为，所以管下沉的第一阶段所需时间为

第二阶段是管全部浸没水中，时，管仍向下运动，其速度用动能定理求出。有
(5)
得
所以
管下沉到最低位置阶段中，浮力等于不变，求出向下加速度

即管在这阶段中做匀减速运动，所需时间

管下沉到最低位置共需时间

点评：从分析与求解过程中可知有多种解法，可以多种角度考查浮力知识、运动学和动力学知识。本题利用参考圆来分析，求解相应、时间、速度等比较方便，但要注意对应关系。如图19-133所示的轴原点在右端而不在圆心上。

Answer 2

(1)当管的密度等于某一值ρ0时候，管能下沉到刚好全部沉入水中,求ρ0
设：细管的截面积为：S
则细管的质量：m=LSρ0，
在完全沉到水里时：细管受到的浮力：F=LSρ水g
因细管受的浮力与细管沉入水中的长度成正比：故：细管受到的平均浮力：F1=F/2=LSρ水g/2
当管能下沉到刚好全部沉入水中时，此事细管的速度为：0
由能量守恒：F1*L=mgL
LSρ水gL/2=LSρ0gL
ρ0=ρ水/2

(2)在ρ=ρ0的情形下 ，管下沉所经历的时间等于什么？
重力的冲量等于浮力的冲量。
设管下沉所经历的时间为：t
不考虑水的浮力：细管下降L后，
有：mgL=mv^2/2，则（mv)^2=2m^2gL，mv=√（2m^2gL）
由重力的冲量等于平均浮力的冲量。：F1t=mv，t=mv/F1=√（2m^2gL）/F1，
其中：F1=LSρ水g/2，m=LSρ0=LSρ水/2
t=2√（2m^2gL）/LSρ水g
=2m√（2gL）/LSρ水g
=√（2gL）/g
=√（2L/g）

(3)设管的密度ρ=2/3ρ水，求管下沉到最后位置所需的时间？
首先求细管下沉的最大深度：X

由能量守恒：mgX=F1L+F(X-L)
其中：m=LS（2/3ρ水），（ρ=2/3ρ水，则：F=1.5mg）
X=0.75L+1.5(X-L)
0.5X =0.75L
=1.5L
设：细管下沉L所用的时间为：t1、从L下沉到1.5L所用的时间为：t2
细管在沉入L深度后做匀减速运动。直到速度为零，
加速度大小：a=（F-mg）/m=0.5g（ρ=2/3ρ水，则：F=1.5mg）
则：细管在后0.5L的用时：t2=√2（0.5L/a）=√（2L/g）
由重力的冲量等于浮力的冲量
m√（3gL）=F1t1+Ft2
m√（3gL）=F1t1+F√（2L/g）
F1t1=m√（3gL）-F√（2L/g）
3mgt1/4=m√（3gL）-1.5mg√（2L/g）
3t1/4=√（3L/g）-1.5√（2L/g）

Answer 3

1. p0=p水
   2.根号下五分之二L秒
   3.根号下十五分之四L 秒

2. http://wenku.baidu.com/view/5786b48ed0d233d4b14e691d.html这里面的有此题的详细解答过程，希望帮得上忙