Question

已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长

已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于

Answer 1

解答：（1）解：如图，∵在正方形ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=6，∴BD=62．∵DF⊥DE，∴∠ADE+∠EDC=90°，∠EDC+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，∠ADE＝∠CDFAD＝DC∠A＝∠DCF＝90°，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF．又∵BD=BF=62，∴AE=CF=BF-BC=62-6，∴BE=AB-AE=6-（62-6）=12-62，即BE的长为12-62；（2）证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，∵由（1）知，△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴△DEF为等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，∵∠DHE=∠BHF，∴∠EDH=∠BFH（三角形的内角和定理），在△DEH和△DFI中，DE＝DF∠DEH＝∠DFIEH＝FI，∴△DEH≌△DFI（SAS），∴DH=DI，又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，∴∠HDE=∠BFE=12∠ADE，∵∠HDE+∠ADE=45°，∴∠HDE=15°，∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，即△DHI为等边三角形，∴DH=HI，∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．