Question

若0<α<β<γ<2π,且cosα+cosβ+cosγ=0,sinα+sinβ+sinγ=0,则γ-α=?

Answer 1

解：
cosα+cosβ+cosγ=0……………………(1)
sinα+sinβ+sinγ=0………………………(2)
由(1)，有：
cosα+cosγ=-cosβ
(cosα+cosγ)²=cos²β
cos²α+2cosαcosγ+cos²γ=cos²β………………(3)
由(2)，有：
sinα+sinγ=-sinβ
(sinα+sinγ)²=sin²β
sin²α+2sinαsinγ+sin²γ=sin²β………………(4)
(3)+(4)有：
cos²α+2cosαcosγ+cos²γ+sin²α+2sinαsinγ+sin²γ=cos²β+sin²β
2+2cosαcosγ+2sinαsinγ=1
2cosαcosγ+2sinαsinγ=-1
cosαcosγ+sinαsinγ=-1/2
cosγcosα+sinγsinα=-1/2
cos(γ-α)=-1/2
γ-α=arc(-1/2)
因为：0＜α＜γ＜2π
所以：0＜γ-α＜2π
所以：γ-α=π±π/6
即：γ-α=7π/6，或：γ-α=5π/6

追问

谢谢，不过最后一步错了应该是2π/3或4π/3，但是我想问的是能不能在这两个答案里舍掉一个

追答

呵呵，楼主批评的对，是我一时迷糊，反应错了。
以后一定多多注意。

γ-α=arccos(-1/2)
所以：γ-α是第二或第三象限角。
因为：0＜α＜γ＜2π
所以：0＜γ-α＜2π
所以：γ-α=π±π/3
即：γ-α=2π/3，或：γ-α=4π/3

以上两个答案，都满足楼主所给题目的要求。
因此两个答案都是原问题的答案。不能舍去。

追问

要是2/3π的时候γ和α差的是不是太小了- -然后就无法满足余弦和正弦的和同时为0

Answer 2

cosα+cosβ+cosγ=0, sinα+sinβ+sinγ=0
cosα+cosγ=-cosβ sinα+sinγ=-sinβ 这两个式子两边平方得
cos²α+ 2cosα*cosγ + cos²γ=cos²β
sin²α+2sinα*sinγ+sin²γ=sin²β
这两个式子两边相加得
1+2cosα*cosγ +2sinα*sinγ+1=1
cosα*cosγ +sinα*sinγ=-1/2 cos(γ -α)=-1/2
0<<γ<2π -2π <-α<0 -2π< γ -α<2π
γ -α=2π/3 或 γ -α=4π/3

追问

看看能不能舍掉一个答案- -

追答

应舍掉 γ-α=2π/3 因为向量OA=(cosα,sinα) 向量OB=(cosβ,sinβ)
向量OC=(cosγ,sinγ) 根据作用在O点的向量和为零向量。向量OA ，向量OB，向量OC它们的夹角都是120°所以γ-α=240°即γ-α=4π/3

追问

为什么夹角都是120°。。