Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE//AC，EF⊥AD交BC延长线于F。

求证：∠FAC=∠B

Answer 1

证明：因为角EAD=角CAD，（AD平分角BAC）
又：角EDA=角DAC，（DE//AC）

所以，角EDA=角DAE
又：EF垂直于AD
所以，EF是AD的垂直平分线,
∴FD=FA,(垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
∴∠ADF=∠DAF,(在一个三角形中,等边对等角)
又∵∠ADF=∠BAD+∠B,(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴∠DAF=∠BAD+∠B,
∵∠DAF=∠DAC+∠FAC,
∴∠DAC+∠FAC=∠BAD+∠B,
∵AD是角平分线,
∴∠DAC=∠BAD,
∴∠B=∠FAC;

Answer 2

∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD

∵DE//AC
∴∠EDA=∠DAC
∴ ∠EAD=∠EDA
∴AE=ED
∵EF⊥AD
∴EF是AD的垂直平分线
∴FA=FD
∴∠FAD=∠FDA
∴∠FAC+∠DAC=∠B+∠BAD

∵∠FAC=∠B